Zakres rozwiązań wyrażenia z 2 zmiennymi

[matemix]

Czy wyrażenie:

\(\displaystyle{ \frac {3^{y}-2^{y}} {2^{x+y}-3^{y}}}\)

może przyjmować dowolnie duże wartości?

Wszystkie zmienne to liczby naturalne.

[yorgin]

Tak.

Wskazówka: Ustal \(\displaystyle{ y>417}\) i zauważ, że istnieje \(\displaystyle{ x}\) takie, że \(\displaystyle{ 2^{x+y}=3^y}\).

[matemix]

Tak.

Wskazówka: Ustal \(\displaystyle{ y>417}\) i zauważ, że istnieje \(\displaystyle{ x}\) takie, że \(\displaystyle{ 2^{x+y}=3^y}\).

Nie rozumiem skrótu myślowego \(\displaystyle{ 2^{x+y}=3^y}\). Przecież strony tego równania nigdy nie będą równe. Dlaczego akurat \(\displaystyle{ y>417}\)?

Z tego co widzę rozwiązania będą tym większe im lepsze znajdziemy przybliżenie \(\displaystyle{ \frac {\ln (3)}{\ln (2)}}\) za pomocą \(\displaystyle{ \frac {x+y}{y}}\). A można znaleźć dowolnie dokładne przybliżenie tego ułamka.

[yorgin]

Nie rozumiem skrótu myślowego \(\displaystyle{ 2^{x+y}=3^y}\). Przecież strony tego równania nigdy nie będą równe.

\(\displaystyle{ x=y=0}\) to tylko jedna z bardzo wielu par, które dają równość.

Dlaczego akurat \(\displaystyle{ y>417}\)?

Dlatego, że to wystarczy. Możesz brać \(\displaystyle{ y>1}\), jeżeli drażni Ciebie \(\displaystyle{ 417}\).

Z tego co widzę rozwiązania będą tym większe im lepsze znajdziemy przybliżenie \(\displaystyle{ \frac {\ln (3)}{\ln (2)}}\) za pomocą \(\displaystyle{ \frac {x+y}{y}}\). A można znaleźć dowolnie dokładne przybliżenie tego ułamka.

Idea jest dobra, ale sformułowanie "przybliżenie" jest dziwne.

[PoweredDragon]

\(\displaystyle{ x=y=0}\) to tylko jedna z bardzo wielu par, które dają równość.

Jedyna (lub też żadna) biorąc pod uwagę liczby naturalne.

[matemix]

Tak, dopisałem, że chodzi tylko o zmienne, które są liczbami naturalnymi większymi niż zero. Tak, czy inaczej nie potrafię ściśle udowodnić, że takie coraz większe rozwiązania występują.

Przykładowo \(\displaystyle{ \frac {\ln (3)} {\ln (2)}}\) można dobrze przybliżyć ułamkiem \(\displaystyle{ \frac {x+y} {y} = \frac {292481+500000} {500000} = 1.584962}\), ale dla tych parametrów wyrażenie daje wynik ujemny. Jednak to samo przybliżenie można uzyskać, gdy \(\displaystyle{ \frac {x+y} {y} = \frac {179+306} {306} = 1.584962}\). Wówczas wyrażenie daje dosyć wysoki wynik \(\displaystyle{ 977.74}\). Zatem znaczenie ma tutaj \(\displaystyle{ \frac {x+y} {y} \approx \frac {\ln (3)} {\ln (2)}}\) oraz wielkość \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\). Ale to cały czas tylko spostrzeżenia. Nie potrafię na tej podstawie wykazać, że np. \(\displaystyle{ 977.74}\) nie będzie maksimum tego wyrażenia.

[yorgin]

Zmienię nieco zapis na taki, który według mnie lepiej oddaje istotę problemu.

Aby pokazać, że wartości mogą być dowolnie duże wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ 2^{x+y}-3^y}\) może być dowolnie bliskie zeru. W tym celu weźmy dowolne \(\displaystyle{ N>0}\) i chcemy znaleźć \(\displaystyle{ x,y}\) takie, że \(\displaystyle{ 2^{x+y}-3^y=\frac{1}{N}}\). Niech teraz \(\displaystyle{ y>1}\) będzie ustalone (licznik się nie zeruje). Wtedy

\(\displaystyle{ 2^{x+y}=\frac{1}{N}+3^y}\)

\(\displaystyle{ 2^x=\frac{1}{N2^y}+\left(\frac{3}{2}\right)^y}\)

\(\displaystyle{ x=\ldots}\).

\(\displaystyle{ x, y}\) są teraz tak dobrane, że

\(\displaystyle{ \frac{3^y-2^y}{2^{x+y}-3^y}=N\cdot (3^y-2^y)}\).

A skoro \(\displaystyle{ y>0}\) można zawsze wziąć takie samo niezależnie od \(\displaystyle{ N}\), wyrażenie \(\displaystyle{ 3^y-2^y}\) jest stałe. Ale \(\displaystyle{ N}\) jest dowolnie duże, więc...

[matemix]

Bierzesz w tym rozumowaniu pod uwagę, że \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) mają być liczbami naturalnymi większymi od zera?

[yorgin]

Nie biorę, gdyż nie było tego w pierwotnej treści zadania, którego treść zmieniłeś i nie poinformowałeś o tym w żadnym poprzednim poście.

[a4karo]

Poinformował 15. 12 p 22:04.

Inna sprawa jest ,że modyfikowanie postów gdy są już po nich odpowiedzi jest nieeleganckie i powinno być tepione przez moderatorów (a nie jest)

[matemix]

Dopisałem pod postem PoweredDragon, że chodzi tylko o zmienne naturalne i, że ta informacja została też uzupełniona w pierwszym poście.

Nieeleganckie jest pewnie, gdy modyfikuje się posty, gdy okazuje się, że nie mamy racji. Ja tu nikogo nie chcę wprowadzać w błąd, po prostu zapomniałem to zaznaczyć na początku.

[Premislav]

Nieeleganckie jest pewnie, gdy modyfikuje się posty, gdy okazuje się, że nie mamy racji.

Co to w ogóle za tekst? W przypadku, w którym dodatkowe założenia całkowicie zmieniają zadanie, a pojawiły się już odpowiedzi na pytanie w pierwotnej formie (trudno, by userzy byli jasnowidzami), edycja z pewnością jest nietaktem. Zamiast tego można poinformować tylko w następnym poście.

Poza tym masz ponad 300 postów, a cały czas tworzysz dziwne sformułowania, zapominasz o założeniach, by potem je dopisywać - można by od Ciebie oczekiwać więcej, nie jesteś już w końcu jakimś nowym użytkownikiem na forum.

[matemix]

Nieeleganckie jest pewnie, gdy modyfikuje się posty, gdy okazuje się, że nie mamy racji.

Co to w ogóle za tekst?
W przypadku, w którym dodatkowe założenia całkowicie zmieniają zadanie, a pojawiły się już odpowiedzi na pytanie w pierwotnej formie (trudno, by userzy byli jasnowidzami), edycja z pewnością jest nietaktem. Zamiast tego można poinformować tylko w następnym poście.

Większość użytkowników, która tu jeszcze nie zajrzała zacznie lekturę wątku od pierwszego posta i lepiej, żeby i oni nie zostali wprowadzeni w błąd, tylko od razu wiedzieli o jaki problem chodzi. Nietaktem byłoby pozostawienie tego posta bez edycji w stosunku do nowych użytkowników. Ci, którzy śledzą dyskusję i uczestniczą w wątku i tak już wiedzą, że zaszły zmiany.

Poza tym masz ponad 300 postów, a cały czas tworzysz dziwne sformułowania, zapominasz o założeniach, by potem je dopisywać - można by od Ciebie oczekiwać więcej, nie jesteś już w końcu jakimś nowym użytkownikiem na forum.

Może faktycznie tworzę dziwne sformułowania, bo zajmuję się dziwnymi rzeczami i czasami brak mi formalizmu. Z drugiej strony wiele równań, którymi się tu zajmowałem pozostaje nierozwiązanych, niektóre są problemami otwartymi. A z tymi założeniami, nie pamiętam drugiej takiej sytuacji, ale skoro twierdzisz, że "zapominam", czyli zdarzają się regularnie wierzę Ci na słowo. Postaram się tego unikać.

[a4karo]

Większość użytkowników, która tu jeszcze nie zajrzała zacznie lekturę wątku od pierwszego posta i lepiej, żeby i oni nie zostali wprowadzeni w błąd, tylko od razu wiedzieli o jaki problem chodzi. Nietaktem byłoby pozostawienie tego posta bez edycji w stosunku do nowych użytkowników. Ci, którzy śledzą dyskusję i uczestniczą w wątku i tak już wiedzą, że zaszły zmiany.

A ci, którzy zaczna czytac ten wątek od początku i natkną się na post

Tak.

Wskazówka: Ustal \(\displaystyle{ y>417}\) i zauważ, że istnieje \(\displaystyle{ x}\) takie, że \(\displaystyle{ 2^{x+y}=3^y}\).

pomyślą tak: cóż z tego yorgina za (tutaj sam sobie wykropkuję [...]), skoro nie wie, że taka równość nie może zachodzić dla naturalnych zmiennych.

Dodając ten komentarz próbowałeś naprawić swój błąd i wtopiłeś innego użytkownika. Dlatego nie należy robić takich rzeczy. No chyba żebyś zdecydował się na taką np. edycje:

"Dnia xxx o godz xxx dodałem przeoczone założenie o tym, że ..."

Ale to z kolei nakłada na czytelnika obowiązek śledzenia dat postów. Tak źle i tak niedobrze.

[matemix]

Wracając do meritum. Tutaj:

... 4X05002064

udowodniono, że \(\displaystyle{ 2^{a_{1}}-3^{b_{1}}=2^{a_{2}}-3^{b_{2}}}\), gdy \(\displaystyle{ (a_{1}, b_{1}) \neq (a_{2}, b_{2})}\) ma maksymalnie jedno rozwiązanie poza poniższymi przypadkami:

\(\displaystyle{ 2^3 - 3 = 2^5 - 3^3}\)
\(\displaystyle{ 2^4 - 3 = 2^8 - 3^5}\)

Oznacza to, że pomijając powyższe dwa przypadki, gdy ustalimy \(\displaystyle{ 2^{x+y}-3^{y}=c}\), to będzie to minimum funkcji dla tego \(\displaystyle{ c}\), gdyż nie istnieje żadne \(\displaystyle{ y_{1}}\) większe od \(\displaystyle{ y}\), takie, że \(\displaystyle{ 2^{x_{1}+y_{1}}-3^{y_{1}}=2^{x+y}-3^{y}}\). Wiadomo też, że najmniejszą wartość \(\displaystyle{ 2^{x+y}-3^{y}}\), przy wybranym \(\displaystyle{ y}\) możemy ustalić biorąc \(\displaystyle{ x=\left\lfloor \frac{ln(3)}{ln(2)} \cdot y \right\rfloor - y+1}\). Ucinając część przecinkową o blisko \(\displaystyle{ 1}\) zmniejszamy mianownik o blisko \(\displaystyle{ y}\), co ma istotne znaczenie dla wielkości całego wyrażenia. Jak na razie największą część przecinkową znalazłem dla \(\displaystyle{ y=306}\), bo \(\displaystyle{ \frac{ln(3)}{ln(2)} \cdot 306 = 484.9985}\). Da się pewnie udowodnić, że wielkości tytułowego wyrażenia zależą bezpośrednio od tego ile wynosi (od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 1}\)) część przecinkowa wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{ln(3)}{ln(2)} \cdot y}\). Nawet, gdyby powyższe spostrzeżenia udowodnić ściśle nadal nie wiem, ani nie umiem wykazać, czy możemy znajdować kolejne takie \(\displaystyle{ y}\), że część przecinkowa \(\displaystyle{ \frac{ln(3)}{ln(2)} \cdot y}\) będzie dowolnie bliska \(\displaystyle{ 1}\).