Iloczyn cyfr w systemie dziesiętnym

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 554
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 107 razy

Iloczyn cyfr w systemie dziesiętnym

Post autor: MrCommando »

Proszę o pomoc z następującym zadaniem:

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ n}\), dla których iloczyn cyfr liczby \(\displaystyle{ n}\) jest w systemie dziesiętnym jest równy \(\displaystyle{ n^{2} -12n-40}\).

Łatwo jest sprawdzić czy takie liczby istnieją (oraz je wyznaczyć) dla \(\displaystyle{ n}\) jednocyfrowych oraz dwucyfrowych, aczkolwiek nie mam pojęcia jak to zrobić dla większych wartości \(\displaystyle{ n}\).
Awatar użytkownika
Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 778
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 155 razy

Iloczyn cyfr w systemie dziesiętnym

Post autor: Slup »

Jeżeli \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną i
\(\displaystyle{ n=(c_kc_{k-1}...c_1c_0)_{10}}\)
to
\(\displaystyle{ n\geq c_k\cdot 10^k\geq c_k\cdot c_{k-1}\cdot...\cdot c_1\cdot c_0}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ n}\) spełnia warunki zadania, to
\(\displaystyle{ n\geq n^2-12n-40}\)
takich liczb naturalnych jest skończenie wiele.
Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 554
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 107 razy

Iloczyn cyfr w systemie dziesiętnym

Post autor: MrCommando »

Zatem mamy z tego \(\displaystyle{ n=15}\). Wielkie dzięki za pomoc
ODPOWIEDZ