Równanie ma jedno rozwiązanie w liczbach całkowitych

[bnyh6]

Pokazać, że równanie \(\displaystyle{ 2^{m}-3^{n}=1}\) ma tylko jedno rozwiązanie w liczbach całkowitych.

[szw1710]

Rozwiązanie jest widoczne. Jeśli \(\displaystyle{ m\ne 2}\), to zapisz \(\displaystyle{ 2^m=3^n+1}\) i zredukuj modulo \(\displaystyle{ 4}\). To rozumowanie jest dobre w liczbach naturalnych. W liczbach całkowitych wchodzimy w ułamki, ale to pewnie można łatwo obrobić. Tak, widać to z postaci, jaką proponuję.

[bnyh6]

Jak sie redukuje modulo ?

[szw1710]

Wylicza się reszty. Więc jaką resztę daje \(\displaystyle{ 2^m}\), a jaką \(\displaystyle{ 3^n+1}\)?

Ale nie - może się zgodzić. Ale jeśli nie modulo \(\displaystyle{ 4}\), to znajdź sobie inny dzielnik tak, aby reszty z lewej strony nie zgodziły się z resztami z prawej strony.

[bnyh6]

Można podać konkretny przyklad ? Bo nie rouzmiem nic

[szw1710]

Piszemy \(\displaystyle{ m\equiv n\pmod{k}}\) (w skrócie \(\displaystyle{ m\equiv_k n}\)), jeśli \(\displaystyle{ m\!\!\mod k=n\!\!\!\mod k}\). Np. \(\displaystyle{ 12\equiv_5 27}\).

[bnyh6]

Rozwiąże mi ktoś całe to zadanie? Bo nie rozumiem. Z góry dziękuję

[bosa_Nike]

Jeżeli nie rozumiesz użytego aparatu, to będzie dla mnie trudne.
W przypadku, gdy \(\displaystyle{ m<0,\ n\ge 0}\) masz \(\displaystyle{ m=-t;\ t>0}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{2^t}=3^n+1}\), a tu lewa strona jest niecałkowita, zaś prawa całkowita - sprzeczność. W przypadku \(\displaystyle{ n<0,\ m\ge 0}\) jest analogicznie. Gdy \(\displaystyle{ m,n<0}\) masz \(\displaystyle{ m=-t,\ n=-s;\ t,s>0}\) oraz \(\displaystyle{ 1=\frac{1}{2^t}-\frac{1}{3^s}<\frac{1}{2^t}<1}\) - sprzeczność. Pozostaje przypadek \(\displaystyle{ m,n\ge 0}\), a jego można rozwiązać analogicznie (właść. prawie identycznie), jak tutaj.