Wykaż, że jeżeli liczba a nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 5}\), to liczba:
\(\displaystyle{ a^8+3a^4-4}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 100}\).
Podzielność przez 100
-
Ruahyin
- Użytkownik
- Posty: 123
- Rejestracja: 25 kwie 2016, o 17:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Yakushima
- Podziękował: 80 razy
Podzielność przez 100
Ostatnio zmieniony 3 gru 2016, o 16:46 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex]
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Podzielność przez 100
Wskazówka:
\(\displaystyle{ a^8+3a^4-4=(a^4-1)(a^4+4)}\)
Wystarczy wykazać podzielność przez \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 25}\).
Skoro \(\displaystyle{ 5\nmid a}\), to z MTF mamy \(\displaystyle{ a^4\equiv 1\pmod{5}}\) i łatwo wywnioskować, że cały iloczyn dzieli się przez \(\displaystyle{ 25}\).
Dalej: jeżeli \(\displaystyle{ a}\) jest nieparzysta, to a\(\displaystyle{ ^2 \equiv 1\pmod{4}}\), więc \(\displaystyle{ a^4\equiv 1\pmod{4}}\), zaś w przypadku gdy \(\displaystyle{ a}\) jest parzysta przyjrzyj się czynnikowi \(\displaystyle{ a^4+4}\).
\(\displaystyle{ a^8+3a^4-4=(a^4-1)(a^4+4)}\)
Wystarczy wykazać podzielność przez \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 25}\).
Skoro \(\displaystyle{ 5\nmid a}\), to z MTF mamy \(\displaystyle{ a^4\equiv 1\pmod{5}}\) i łatwo wywnioskować, że cały iloczyn dzieli się przez \(\displaystyle{ 25}\).
Dalej: jeżeli \(\displaystyle{ a}\) jest nieparzysta, to a\(\displaystyle{ ^2 \equiv 1\pmod{4}}\), więc \(\displaystyle{ a^4\equiv 1\pmod{4}}\), zaś w przypadku gdy \(\displaystyle{ a}\) jest parzysta przyjrzyj się czynnikowi \(\displaystyle{ a^4+4}\).