Dowody podzielności
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 22 paź 2016, o 14:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olszyna
- Podziękował: 2 razy
Dowody podzielności
Jak udowodnić cechy podzielności? Oczywiście nie chodzi mi o takie trywialne rzeczy jak 2, 5 czy 10...Wymyśliłem tylko co robić, dla potęg dwójki i 3, 9. Nie wiem jak to zrobić dla 7 czy 11. Pokazałby ktoś Najbardziej chciałbym za pomocą kongruencji.
-
- Użytkownik
- Posty: 1017
- Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 167 razy
- Pomógł: 152 razy
Dowody podzielności
Każdą podzielność robi się podobnie. Pewną liczbę zapisujemy w postaci:
\(\displaystyle{ a_0+10a_1+10^2a_2+\ldots+10^ma_m, \ \ m\in \NN, a_j\in\left\{ 0,1,\ldots,9\right\}}\) .
I wtedy bierzesz tę liczbę modulo np. \(\displaystyle{ \mod 11}\)
\(\displaystyle{ a_0+10a_1+10^2a_2+\ldots+10^ma_m \equiv_{11} 0}\).
I zastanawiasz się kiedy tak jest.
Każdorazowo trzeba sprawdzić ile \(\displaystyle{ \mod 11}\) (lub \(\displaystyle{ \mod}\) każda inna liczba) wynosi \(\displaystyle{ 10, 10^2, 10^3, 10^4, 10^5, \ldots}\).
Przykładowo:
\(\displaystyle{ 10 \equiv_{11} -1 \\
10^2 \equiv_{11} 1 \\
10^3 \equiv_{11} -1}\)
itd.
Indukcyjnie można pokazać, że \(\displaystyle{ 10^n\equiv_{11} \begin{cases} 1 \ \ \ \text{gdy n parzyste} \\ -1 \ \ \ \text{gdy n nieparzyste} \end{cases}}\)
Zatem (z własności kongruencji):
\(\displaystyle{ a_0+10a_1+10^2a_2+\ldots+10^ma_m \equiv_{11} 0 \Leftrightarrow a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \equiv_{11} 0}\), co interpretujemy, że naprzemienna suma cyfr musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\), wtedy wyjściowa liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\).
Podobnie każdą inną podzielność się robi.
\(\displaystyle{ a_0+10a_1+10^2a_2+\ldots+10^ma_m, \ \ m\in \NN, a_j\in\left\{ 0,1,\ldots,9\right\}}\) .
I wtedy bierzesz tę liczbę modulo np. \(\displaystyle{ \mod 11}\)
\(\displaystyle{ a_0+10a_1+10^2a_2+\ldots+10^ma_m \equiv_{11} 0}\).
I zastanawiasz się kiedy tak jest.
Każdorazowo trzeba sprawdzić ile \(\displaystyle{ \mod 11}\) (lub \(\displaystyle{ \mod}\) każda inna liczba) wynosi \(\displaystyle{ 10, 10^2, 10^3, 10^4, 10^5, \ldots}\).
Przykładowo:
\(\displaystyle{ 10 \equiv_{11} -1 \\
10^2 \equiv_{11} 1 \\
10^3 \equiv_{11} -1}\)
itd.
Indukcyjnie można pokazać, że \(\displaystyle{ 10^n\equiv_{11} \begin{cases} 1 \ \ \ \text{gdy n parzyste} \\ -1 \ \ \ \text{gdy n nieparzyste} \end{cases}}\)
Zatem (z własności kongruencji):
\(\displaystyle{ a_0+10a_1+10^2a_2+\ldots+10^ma_m \equiv_{11} 0 \Leftrightarrow a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \equiv_{11} 0}\), co interpretujemy, że naprzemienna suma cyfr musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\), wtedy wyjściowa liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\).
Podobnie każdą inną podzielność się robi.