Udowodnienie rownania

[Ruahyin]

Liczby \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) są pierwsze i różne od siebie. Wykaż że \(\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}}\) nie jest naturalne.

[Zahion]

Na początku zauważ, że jeżeli żadna z tych liczb nie jest równa \(\displaystyle{ 2}\) to wartość tego wyrażenia jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 1}\)

[Ruahyin]

Zahion, a jak dojść do tego , że jesli żadna nie jest równa 2 to liczba jest mniejsza od jeden? Bo da jednej równej 2 wykazałam po kilku przekształceń z parzystosci.

[Premislav]

To proste:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}+ \frac{1}{5}+ \frac{1}{7}+ \frac{1}{11}< \frac{1}{3}+\frac 1 5+\frac 1 5+\frac 1 5=\frac 1 3+\frac 3 5<1}\), a liczby \(\displaystyle{ 3,5,7,11}\) są najmniejszymi parami różnymi liczbami pierwszymi, z których żadna nie jest równa \(\displaystyle{ 2}\).