Udowodnienie równania

[Ruahyin]

Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{xy-z^{2}}+ \sqrt{yz-x^{2}} + \sqrt{xz-y^{2}} =x^{2}+y^{2}+z^{2 }}\) to \(\displaystyle{ x=y=z=0}\)

[kerajs]

Zał:
\(\displaystyle{ \begin{cases} xy-z^2 \ge 0 \\ xz-y^2 \ge 0 \\ yz-x^2 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy \ge z^2 \\ xz \ge y^2 \\ yz \ge x^2 \end{cases}}\)
Mnożąc nierówności stronami mam:
\(\displaystyle{ xyxzyz \ge z^2y^2x^2}\)
co prawdziwe jest tylko dla
\(\displaystyle{ xyxzyz = z^2y^2x^2}\)
więc
\(\displaystyle{ \begin{cases} xy = z^2 \\ xz = y^2 \\ yz = x^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy-z^2 = 0 \\ xz-y^2 = 0 \\ yz-x^2 = 0 \end{cases}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \sqrt{0} + \sqrt{0}+ \sqrt{0}=x^2+y^2+z^2 \\
0=x^2+y^2+z^2\\
x=y=z=0}\)

[Premislav]

kerajs, może jestem głupi, ale nie rozumiem Twojego rozwiązania. Mógłbyś proszę wyjaśnić?

\(\displaystyle{ xyxzyz \ge z^2y^2x^2}\) to nierówność, która jest zawsze prawdziwa, bo po obu stronach mamy
\(\displaystyle{ x^2y^2z^2}\)... Nie widzę, co z tego ma wynikać.

Po zapisaniu układu nierówności, który wynika z dziedziny, można zsumować nierówności stronami, co daje
\(\displaystyle{ xy+yz+xz\ge x^2+y^2+z^2\\2xy+2yz+2xz\ge 2x^2+2y^2+2z^2\\(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2\le 0}\)
Stąd \(\displaystyle{ x=y=z}\) i podstawiając to do równości
\(\displaystyle{ \sqrt{xy-z^{2}}+ \sqrt{yz-x^{2}} + \sqrt{xz-y^{2}} =x^{2}+y^{2}+z^{2 }}\), otrzymujemy, że lewa strona jest równa zero, więc prawa też, czyli \(\displaystyle{ x=y=z=0}\).

W kwestii językowej: równanie się rozwiązuje, a nie udowadnia, udowodnić można np. równość/tożsamość.