Kongruencje i niereszty kwadratowe

[ka79zik]

W poniższym rozumowaniu nie rozumiem, dlaczego z tego, że \(\displaystyle{ -1}\) jest nieresztą kwadratową modulo \(\displaystyle{ q}\), wynika, że kongruencja \(\displaystyle{ x^2\equiv-y^2 \ (mod \ q)}\) zachodzi tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x\equiv0}\) i \(\displaystyle{ y\equiv0 \ (mod \ q)}\).

Jeśli liczba \(\displaystyle{ N}\) ma czynnik pierwszy \(\displaystyle{ q}\) postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\), to równanie \(\displaystyle{ x^2+y^2=N}\) jest równoważne kongruencji \(\displaystyle{ x^2\equiv-y^2 \ (mod \ q)}\) i wiemy, że \(\displaystyle{ -1}\) jest nieresztą kwadratową modulo \(\displaystyle{ q}\), to kongruencja \(\displaystyle{ x^2\equiv-y^2 \ (mod \ q)}\) zachodzi tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x\equiv0}\) i \(\displaystyle{ y\equiv0 \ (mod \ q)}\). Zatem \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ q}\). Wówczas \(\displaystyle{ N}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ q^2}\).

Czy mogę prosić o pomoc w zrozumieniu tego przejścia?

[Slup]

Ale \(\displaystyle{ q}\) jest liczbą pierwszą?
Przy założeniu, że \(\displaystyle{ q}\) jest liczbą pierwszą, \(\displaystyle{ (-1)}\) nie jest resztą kwadratową modulo \(\displaystyle{ q}\) oraz
\(\displaystyle{ x^2+y^2\equiv 0(\mathrm{mod}\,q)}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ q}\) nie dzieli \(\displaystyle{ y}\), to istnieje \(\displaystyle{ z}\) takie, że \(\displaystyle{ zy\equiv 1(\mathrm{mod}\,q)}\). Wówczas
\(\displaystyle{ (zx)^2+1\equiv z^2(x^2+y^2)\equiv 0(\mathrm{mod}\,q)}\)
czyli
\(\displaystyle{ (zx)^2\equiv -1(\mathrm{mod}\,q)}\)
Otrzymujemy sprzeczność. Stąd \(\displaystyle{ q}\) dzieli \(\displaystyle{ y}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ q}\) musi dzielić też \(\displaystyle{ x}\).

[ka79zik]

A co daje nam to,ze \(\displaystyle{ -1}\) jest niereszta kwadratową \(\displaystyle{ mod \ q}\)? Niestety nie rozumiem tego uzasadnienia Mógłbyś wytłumaczyć to jaśniej?

[Slup]

Udowodniliśmy, że:
Jeśli \(\displaystyle{ x^2+y^2\equiv 0\,(\mathrm{mod}\,q)}\) ma rozwiązanie takie, że \(\displaystyle{ q}\) nie dzieli \(\displaystyle{ y}\), to \(\displaystyle{ (-1)}\) jest resztą kwadratową modulo \(\displaystyle{ q}\).

Stąd:
Jeżeli \(\displaystyle{ (-1)}\) nie jest resztą kwadratową modulo \(\displaystyle{ q}\), to kongruencja \(\displaystyle{ x^2+y^2\equiv 0\,(\mathrm{mod}\,q)}\) ma tylko takie rozwiązania, że \(\displaystyle{ q}\) dzieli \(\displaystyle{ y}\).