Równanie z wykorzystaniem funkcji Eulera

[JustMaths]

Mam zadanie, z którym nie do końca wiem, co zrobić [trzeba było chodzić na ćwiczenia...], prócz metody "zgadywać".
Podaj liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ \phi(x) = 32}\)
Podejrzewam, że trzeba wykorzystać funkcję Eulera, ale nie wiem w jaki sposób to obliczyć, a potem, jak znaleźć wszystkie rozwiązania.
Z góry dziękuję za pomoc

[a4karo]

Liczba \(\displaystyle{ 32}\) nie ma tak wielu dzielników. Wypisz wszystkie możliwe przedstawienia i porównaj ze wzorem na funkcję \(\displaystyle{ \varphi}\)

[JustMaths]

Liczba \(\displaystyle{ 32}\) nie ma tak wielu dzielników. Wypisz wszystkie możliwe przedstawienia i porównaj ze wzorem na funkcję \(\displaystyle{ \varphi}\)

Może i liczba 32 nie ma wielu, ale mogę się w przyszłości spotkać z jakąś większą i wolałabym, żeby mi ktoś pomógł to zrozumieć.

[a4karo]

Jak znam życie, to nie ma uniwersalnej i ogólnej metody na tego typu równania.

[arek1357]

Można zauważyć, że:

\(\displaystyle{ n=2^k}\)

\(\displaystyle{ \phi (n)=32=2^5=p^{k-1}(p-1)=32}\)

widać, że:

\(\displaystyle{ p=2}\)

\(\displaystyle{ 2^{k-1}=32=2^5}\)

czyli:

\(\displaystyle{ k-1=5}\)

\(\displaystyle{ k=6}\)

\(\displaystyle{ n=2^k=2^6=64}\)

ot co...

W tym wypadku można zastosować uniwersalizm...

[Sylwek]

Powyższe rozwiązanie to kiepski blef. Są przecież inne rozwiązania, np. \(\displaystyle{ 2^4 \cdot 5}\) i inne.

Liczby pierwsze, które są w potęgach większych od 1, muszą być dzielnikami \(\displaystyle{ 32}\) - taką liczbą pierwszą jest tylko \(\displaystyle{ 2}\). Zatem wynik jest postaci \(\displaystyle{ n=2^t \cdot p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_k}\), gdzie \(\displaystyle{ p_i}\) są różnymi liczbami pierwszymi, \(\displaystyle{ t \ge 0}\).

Dla tak przedstawionego \(\displaystyle{ n}\), spróbuj rozpisać funkcję Eulera. Wzór na funkcję Eulera jest iloczynem pewnych liczb, więc poszukujesz takiego ciągu liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_i}\) oraz wykładnika \(\displaystyle{ t}\), żeby czynniki wspomnianego iloczynu wymnożyły się do \(\displaystyle{ 32}\). Będzie kilka przypadków.

[arek1357]

Może i blef ale skuteczny w tym przypadku.

Znalazłem jedno rozwiązanie i wystarczy, inne se sam dorzuć jak uważasz, że to blef, bo blef kolego to wtedy jak by było złe rozwiązanie a nie jak dobre a niepełne.

Zamiast wystukiwać nutki ułóż partyturę i wrzuć resztę rozwiązań a wtedy ocenimy jak jest.

[a4karo]

Może i blef ale skuteczny w tym przypadku.

Znalazłem jedno rozwiązanie i wystarczy, inne se sam dorzuć jak uważasz, że to blef, bo blef kolego to wtedy jak by było złe rozwiązanie a nie jak dobre a niepełne.

Zamiast wystukiwać nutki ułóż partyturę i wrzuć resztę rozwiązań a wtedy ocenimy jak jest.

Niestety, Twoje "rozwiązanie" to ciąg znaczków, z których mało wynika, bo nie jesteś łaskaw użyć języka polskiego aby napisać "co jest czym czego".

Zadanie brzmiało "Podaj ilość rozwiązań", a nie "znajdź rozwiązanie", wiec tego, co napisałeś nawet w przybliżeniu nie można nazwać niepełnym rozwiązaniem.

Twoje nutki zatem brzmią kompletnie fałszywie, niestety.

[arek1357]

Ok niech brzmią fałszywie zgadzam się więc czekam na jakiegoś Pendereckiego z jego uwerturą.

A ja sobie to odpuszczę i się nie będę przejmował a co wolno mi...
(znalazłem na razie jedno rozwiązanie a nawet i drugie i trzecie ale czekam na Mozarta)

[JustMaths]

Powyższe rozwiązanie to kiepski blef. Są przecież inne rozwiązania, np. \(\displaystyle{ 2^4 \cdot 5}\) i inne.

Liczby pierwsze, które są w potęgach większych od 1, muszą być dzielnikami \(\displaystyle{ 32}\) - taką liczbą pierwszą jest tylko \(\displaystyle{ 2}\). Zatem wynik jest postaci \(\displaystyle{ n=2^t \cdot p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_k}\), gdzie \(\displaystyle{ p_i}\) są różnymi liczbami pierwszymi, \(\displaystyle{ t \ge 0}\).

Dla tak przedstawionego \(\displaystyle{ n}\), spróbuj rozpisać funkcję Eulera. Wzór na funkcję Eulera jest iloczynem pewnych liczb, więc poszukujesz takiego ciągu liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_i}\) oraz wykładnika \(\displaystyle{ t}\), żeby czynniki wspomnianego iloczynu wymnożyły się do \(\displaystyle{ 32}\). Będzie kilka przypadków.

Fakt, na piechotę to robiłam [myślałam, że to nie do końca "matematycznie"], miałam nadzieję na jakąś krótsząardziej uniwersalną metodę, ale dobre i to.

Może i blef ale skuteczny w tym przypadku.

Znalazłem jedno rozwiązanie i wystarczy, inne se sam dorzuć jak uważasz, że to blef, bo blef kolego to wtedy jak by było złe rozwiązanie a nie jak dobre a niepełne.

Zamiast wystukiwać nutki ułóż partyturę i wrzuć resztę rozwiązań a wtedy ocenimy jak jest.

Niestety, Twoje "rozwiązanie" to ciąg znaczków, z których mało wynika, bo nie jesteś łaskaw użyć języka polskiego aby napisać "co jest czym czego".

Zadanie brzmiało "Podaj ilość rozwiązań", a nie "znajdź rozwiązanie", wiec tego, co napisałeś nawet w przybliżeniu nie można nazwać niepełnym rozwiązaniem.

Twoje nutki zatem brzmią kompletnie fałszywie, niestety.

W tym wypadku rozwiązanie musiało być kompletne [w sumie niekompletne rozwiązanie dla mnie rozwiązaniem nie jest, ale to już każdy ma inną opinię]. Najgorsze w tej metodzie jest to, że takiego nerwusa z lekkim ADHD męczy i szybko tym rzuciłam, doszłam do siedmiu rozwiązań, potem nic mi sensownego nie wyszło, więc taką odpowiedź zostawiłam - coś czuję, że niedobrą, ale tego dowiem się za tydzień, bo wtedy dopiero będę miała wgląd do poprawionego testu na platformie e-learningowej.

[Vax]

Siedem to dobra odpowiedź