Rozwiązania równania diofantycznego

[Chewbacca97]

Wiemy, że dla \(\displaystyle{ a,b \in \ZZ}\) , \(\displaystyle{ a \neq 0}\) lub \(\displaystyle{ b \neq 0}\) , istnieją \(\displaystyle{ x,y \in \ZZ}\) takie, że \(\displaystyle{ \left( a,b\right) = ax + by}\).

Tyle teorii, w praktyce: \(\displaystyle{ a=77}\) i \(\displaystyle{ b=22}\), tzn. że istnieją takie \(\displaystyle{ x,y \in \ZZ}\), że:

\(\displaystyle{ 77x+22y = \left( 77,22\right) = 11}\)

Nawet łatwo je wyliczyć: \(\displaystyle{ \begin{cases} x=1 \\ y = -3 \end{cases}}\)

Mnie interesuje jednak, czy można na tej podstawie wnioskować coś na temat równania diofantycznego: \(\displaystyle{ 77x + 22y = 1}\) ? Czy można powiedzieć, że nie ma ono rozwiązań? Jedyne uzasadnienie, które przychodzi mi do głowy, to: \(\displaystyle{ 77x+22y = \left( 77,22\right) = 11 \nmid 1}\). Ale czy jest ono poprawne?

[Premislav]

Tak, to uzasadnienie jest poprawne.

[Chewbacca97]

A czy gdybym miał za zadanie przedstawić liczbę \(\displaystyle{ 22^{-1}}\) w ciele liczb \(\displaystyle{ \ZZ_{77}}\), tj. musiałbym znaleźć taką liczbę \(\displaystyle{ a}\), dla której:
\(\displaystyle{ 22a \equiv 1 \pmod {77} \Leftrightarrow 22a - 77b = 1}\).
To rozumiem, że rozumowanie z pierwszego posta sugeruje, że jest to niemożliwe?

[bakala12]

Tak. Lewa strona dzieli się przez \(\displaystyle{ 11}\), a prawa nie. Stąd równanie nie ma rozwiązań.