Calkowitosc liczby

[Ruahyin]

Zbadaj czy liczba jest całkowita.
\(\displaystyle{ \frac{1 ^{2000} +2 ^{2001}+3 ^{2002} }{1+2+3}}\)

[dec1]

Ponieważ \(\displaystyle{ 2^{2001} \equiv 2\pmod{6}}\) i \(\displaystyle{ 3^{2002} \equiv 3 \pmod{6}}\), liczba ta jest całkowita.

[Ruahyin]

A jakiś inny sposób bez kongruencji??

[Zahion]

\(\displaystyle{ 1 ^{2000} +2 ^{2001}+3 ^{2002} = \left( 2^{2001} + 1\right) + 3^{2002} = \left( 2+1\right)\left( 2^{2000} - 2^{1999} + ... + 1\right) + 3^{2002} = 3\left( \left( 2^{2000} - 2^{1999} \right) + ... + \left( 2^{2} - 2\right) + \left( 1 + 3^{2001}\right) \right)}\)
Zauważ, że wyrażenie w nawiasie jest parzyste.