Suma mantys
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11373
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
Suma mantys
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{n^2-n}{2} \leq \{ \sqrt{1} \}+ ...+ \{ \sqrt{n^2} \} \leq \frac{n^2-1}{2}}\)
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5747
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 526 razy
Suma mantys
Z całką nie wyszło bo to "zła" nierówność była.
po pierwsze:
\(\displaystyle{ \left\{ \sqrt{1} \right\}+ \left\{ \sqrt{2} \right\}+...+\left\{ \sqrt{n^2} \right\}=}\)
\(\displaystyle{ = \sqrt{1}+ \sqrt{2}+ \sqrt{3}+...+ \sqrt{n^2}-\left( [\sqrt{1}]+ [\sqrt{2}]+ [\sqrt{3}]+......+ [\sqrt{n^2}]\right)}\)
Zajmijmy się szacowaniem pierwszej sumy jest taka fajna nierówność:
\(\displaystyle{ \sqrt{a} + \frac{k}{2 \sqrt{a}+1 } \le \sqrt{a+k} \le \sqrt{a} + \frac{k}{2 \sqrt{a} }}\)
na podstawie tej nierówności szacujmy nasze pierwiastki:
(I) \(\displaystyle{ 1 \le \sqrt{1} \le 1}\)
\(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{3} \le \sqrt{2}= \sqrt{1+1} \le 1+ \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 1+ \frac{2}{3} \le \sqrt{3}= \sqrt{1+2} \le 1+ \frac{2}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2 \le \sqrt{4} \le 2}\)
\(\displaystyle{ 2+ \frac{1}{5} \le \sqrt{5}= \sqrt{4+1} \le 2+ \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ 2+ \frac{2}{5} \le \sqrt{6}= \sqrt{4+2} \le 2+ \frac{2}{4}}\)
...................................................................................................................
widzimy jak to idzie dalej.
Teraz to zsumujmy:
a dokładnie prawą stronę:
\(\displaystyle{ \sqrt{1}+ \sqrt{2}+ \sqrt{3}+...+ \sqrt{n^2} \le}\)
\(\displaystyle{ \left( 1+1+ \frac{1}{2}+1+ \frac{2}{2} \right)+ \left( 2+2+ \frac{1}{4}+2+ \frac{2}{4}+2+ \frac{3}{4}+2+ \frac{4}{4} \right)+...+(n-1)+(n-1)+ \frac{1}{2(n-1)}+...+(n-1)+ \frac{2(n-1)}{2(n-1)} +n=}\)
\(\displaystyle{ = 1 \cdot 3+2 \cdot 5+3 \cdot 7+...+(n-1)(2n-1)+n+ \frac{1}{2} + \frac{2}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{2}{4}+ \frac{3}{4}+ \frac{4}{4}+...+ \frac{1}{2(n-1)}+\frac{2}{2(n-1)}+...+\frac{2(n-1)}{2(n-1)}}\)
weźmy samą sumę ułamkową:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} + \frac{2}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{2}{4}+ \frac{3}{4}+ \frac{4}{4}+...+ \frac{1}{2(n-1)}+\frac{2}{2(n-1)}+...+\frac{2(n-1)}{2(n-1)}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{1+2}{2}+ \frac{1+2+3+4}{4}+ \frac{1+2+3+4+5+6}{6}+...+ \frac{1+2+...+2(n-1)}{2(n-1)}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{2} + \frac{10}{4} + \frac{21}{6}+...+ \frac{(2n-1)(n-1)}{2(n-1)} = \sum_{i=2}^{n} \frac{2i-1}{2}= \frac{1}{2} \sum_{i=2}^{n}(2i-1)= \frac{n^2-1}{2}}\)
a co do drugiej części sumy mamy:
\(\displaystyle{ \left( [\sqrt{1}]+ [\sqrt{2}]+ [\sqrt{3}]+......+ [\sqrt{n^2}]\right)=}\)
\(\displaystyle{ =(1+1+1)+(2+2+2+2+2)+(3+3+...+3)+...+\left[ (n-1)+...+(n-1)\right] +n=}\)
\(\displaystyle{ 1 \cdot 3+2 \cdot 5+3 \cdot 7+...+(n-1)(2n-1)+n}\)
Jak widać ta sama suma występuje w pierwszej części wyrażenia przed nawiasem z częściami całkowitymi jest minus to te sumy się skrócą i zostanie:
\(\displaystyle{ \frac{n^2-1}{2}}\)
co kończy dowód prawostronny.
lewostronny będzie analogiczny.
Teraz już jest ok...
Jak znajdę czas zsumuję lewe strony i też na pewno powinno wyjść, no i jeśli ktoś zrozumie mój tok rozumowania bo może za mało tłumaczyłem ale po wnikliwej analizie każdy przyzna słuszność temu tokowi rozumowania.
Na razie uproszczę to:
\(\displaystyle{ 1 \cdot 3+2 \cdot 5+3 \cdot 7+...+(n-1)(2n-2+1)+n=}\)
\(\displaystyle{ 1 \cdot (2 \cdot 1+1)+ 2 \cdot (2 \cdot 2+1)+ 3 \cdot (2 \cdot 3+1)+...+(n-1)(2n-1)+n=}\)
\(\displaystyle{ 2 \cdot 1^2+2 \cdot 2^2+2 \cdot 3^2+...+2 \cdot (n-1)^2+(1+2+3+...+n)=}\)
\(\displaystyle{ 2\left[ 1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2\right] + \frac{n(1+n)}{2}=}\)
\(\displaystyle{ 2\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}+ \frac{n^2+n}{2}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{3}n^3- \frac{1}{2}n^2+ \frac{5}{6}n=S}\)
A teraz w drugą stronę:
Jak zsumujemy lewe strony nierówności (I) otrzymamy:
\(\displaystyle{ S+ \left( \frac{1}{3}+ \frac{2}{3}\right)+ \left( \frac{1}{5}+ \frac{2}{5}+ \frac{3}{5}+ \frac{4}{5} \right)+...+\left( \frac{1}{2n-1}+ \frac{2}{2n-1}+...+ \frac{2n-2}{2n-1} \right)=}\)
\(\displaystyle{ =S+ \frac{1+2}{3}+ \frac{1+2+3+4}{5}+...+\frac{1+2+3+...+(2n-2)}{2n-1}=}\)
\(\displaystyle{ S+ \sum_{i=2}^{n} \frac{(2i-1)(i-1)}{2i-1}=S+ \sum_{i=2}^{n}(i-1)=S+ \frac{n(n-1)}{2}}\)
Co rzeczywiście pokazuje, że nierówność lewostronna też jest prawdziwa.
I całe zadanie.
po pierwsze:
\(\displaystyle{ \left\{ \sqrt{1} \right\}+ \left\{ \sqrt{2} \right\}+...+\left\{ \sqrt{n^2} \right\}=}\)
\(\displaystyle{ = \sqrt{1}+ \sqrt{2}+ \sqrt{3}+...+ \sqrt{n^2}-\left( [\sqrt{1}]+ [\sqrt{2}]+ [\sqrt{3}]+......+ [\sqrt{n^2}]\right)}\)
Zajmijmy się szacowaniem pierwszej sumy jest taka fajna nierówność:
\(\displaystyle{ \sqrt{a} + \frac{k}{2 \sqrt{a}+1 } \le \sqrt{a+k} \le \sqrt{a} + \frac{k}{2 \sqrt{a} }}\)
na podstawie tej nierówności szacujmy nasze pierwiastki:
(I) \(\displaystyle{ 1 \le \sqrt{1} \le 1}\)
\(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{3} \le \sqrt{2}= \sqrt{1+1} \le 1+ \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 1+ \frac{2}{3} \le \sqrt{3}= \sqrt{1+2} \le 1+ \frac{2}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2 \le \sqrt{4} \le 2}\)
\(\displaystyle{ 2+ \frac{1}{5} \le \sqrt{5}= \sqrt{4+1} \le 2+ \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ 2+ \frac{2}{5} \le \sqrt{6}= \sqrt{4+2} \le 2+ \frac{2}{4}}\)
...................................................................................................................
widzimy jak to idzie dalej.
Teraz to zsumujmy:
a dokładnie prawą stronę:
\(\displaystyle{ \sqrt{1}+ \sqrt{2}+ \sqrt{3}+...+ \sqrt{n^2} \le}\)
\(\displaystyle{ \left( 1+1+ \frac{1}{2}+1+ \frac{2}{2} \right)+ \left( 2+2+ \frac{1}{4}+2+ \frac{2}{4}+2+ \frac{3}{4}+2+ \frac{4}{4} \right)+...+(n-1)+(n-1)+ \frac{1}{2(n-1)}+...+(n-1)+ \frac{2(n-1)}{2(n-1)} +n=}\)
\(\displaystyle{ = 1 \cdot 3+2 \cdot 5+3 \cdot 7+...+(n-1)(2n-1)+n+ \frac{1}{2} + \frac{2}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{2}{4}+ \frac{3}{4}+ \frac{4}{4}+...+ \frac{1}{2(n-1)}+\frac{2}{2(n-1)}+...+\frac{2(n-1)}{2(n-1)}}\)
weźmy samą sumę ułamkową:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} + \frac{2}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{2}{4}+ \frac{3}{4}+ \frac{4}{4}+...+ \frac{1}{2(n-1)}+\frac{2}{2(n-1)}+...+\frac{2(n-1)}{2(n-1)}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{1+2}{2}+ \frac{1+2+3+4}{4}+ \frac{1+2+3+4+5+6}{6}+...+ \frac{1+2+...+2(n-1)}{2(n-1)}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{2} + \frac{10}{4} + \frac{21}{6}+...+ \frac{(2n-1)(n-1)}{2(n-1)} = \sum_{i=2}^{n} \frac{2i-1}{2}= \frac{1}{2} \sum_{i=2}^{n}(2i-1)= \frac{n^2-1}{2}}\)
a co do drugiej części sumy mamy:
\(\displaystyle{ \left( [\sqrt{1}]+ [\sqrt{2}]+ [\sqrt{3}]+......+ [\sqrt{n^2}]\right)=}\)
\(\displaystyle{ =(1+1+1)+(2+2+2+2+2)+(3+3+...+3)+...+\left[ (n-1)+...+(n-1)\right] +n=}\)
\(\displaystyle{ 1 \cdot 3+2 \cdot 5+3 \cdot 7+...+(n-1)(2n-1)+n}\)
Jak widać ta sama suma występuje w pierwszej części wyrażenia przed nawiasem z częściami całkowitymi jest minus to te sumy się skrócą i zostanie:
\(\displaystyle{ \frac{n^2-1}{2}}\)
co kończy dowód prawostronny.
lewostronny będzie analogiczny.
Teraz już jest ok...
Jak znajdę czas zsumuję lewe strony i też na pewno powinno wyjść, no i jeśli ktoś zrozumie mój tok rozumowania bo może za mało tłumaczyłem ale po wnikliwej analizie każdy przyzna słuszność temu tokowi rozumowania.
Na razie uproszczę to:
\(\displaystyle{ 1 \cdot 3+2 \cdot 5+3 \cdot 7+...+(n-1)(2n-2+1)+n=}\)
\(\displaystyle{ 1 \cdot (2 \cdot 1+1)+ 2 \cdot (2 \cdot 2+1)+ 3 \cdot (2 \cdot 3+1)+...+(n-1)(2n-1)+n=}\)
\(\displaystyle{ 2 \cdot 1^2+2 \cdot 2^2+2 \cdot 3^2+...+2 \cdot (n-1)^2+(1+2+3+...+n)=}\)
\(\displaystyle{ 2\left[ 1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2\right] + \frac{n(1+n)}{2}=}\)
\(\displaystyle{ 2\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}+ \frac{n^2+n}{2}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{3}n^3- \frac{1}{2}n^2+ \frac{5}{6}n=S}\)
A teraz w drugą stronę:
Jak zsumujemy lewe strony nierówności (I) otrzymamy:
\(\displaystyle{ S+ \left( \frac{1}{3}+ \frac{2}{3}\right)+ \left( \frac{1}{5}+ \frac{2}{5}+ \frac{3}{5}+ \frac{4}{5} \right)+...+\left( \frac{1}{2n-1}+ \frac{2}{2n-1}+...+ \frac{2n-2}{2n-1} \right)=}\)
\(\displaystyle{ =S+ \frac{1+2}{3}+ \frac{1+2+3+4}{5}+...+\frac{1+2+3+...+(2n-2)}{2n-1}=}\)
\(\displaystyle{ S+ \sum_{i=2}^{n} \frac{(2i-1)(i-1)}{2i-1}=S+ \sum_{i=2}^{n}(i-1)=S+ \frac{n(n-1)}{2}}\)
Co rzeczywiście pokazuje, że nierówność lewostronna też jest prawdziwa.
I całe zadanie.