Czy istnieją...

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Hayran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 144
Rejestracja: 26 paź 2016, o 16:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 11 razy

Czy istnieją...

Post autor: Hayran »

Czy istnieją takie liczby całkowite \(\displaystyle{ x, y}\), że liczba \(\displaystyle{ x^4-y^4}\) kończy się cyframi \(\displaystyle{ 1000}\).
Wiemy, że liczby \(\displaystyle{ x, y}\) są tej samej parzystości. jeśli obie są parzyste, to \(\displaystyle{ {16}\mid {x^4-y^4}}\), a liczba zakończona na \(\displaystyle{ 1000}\) nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 16}\). Nie potrafię jednak wykazać sprzeczności dla \(\displaystyle{ x, y}\) nieparzystych.
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Czy istnieją...

Post autor: bakala12 »

To idzie z kongruencji. Zauważ, że jeżeli \(\displaystyle{ 2 \nmid x}\), to \(\displaystyle{ x^{4} \equiv 1 \pmod{16}}\). I analogiczny wniosek jak dla liczb parzystych.
Hayran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 144
Rejestracja: 26 paź 2016, o 16:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 11 razy

Czy istnieją...

Post autor: Hayran »

Ahh!!! To przecież był ten lemat... Dzięki za przypomnienie! Udało mi się już to rozwiązać nieco inną metodą: \(\displaystyle{ x=2k+1, y=2l+1}\). Podstawiając i stosując wzór skróconego mnożenia otrzymujemy: \(\displaystyle{ x^4-y^4=(4k^2+4l^2+4k+4l+2)(2k+2l+2)(2k-2l)}\). Oczywiście wszystkie czynniki są podzielne przez 2. Jeśli \(\displaystyle{ k\equiv l\pmod{2}}\), to \(\displaystyle{ 4 \mid (2k-2l)}\), a jeśli k i l dają różne reszy z dzielenia przez 2, to \(\displaystyle{ 2 \mid (k+l+1)}\), więc \(\displaystyle{ 4 \mid (2k+2l+2)}\), więc znów iloczyn jest podzielny przez 16.
Jeszcze raz wielkie dzięki
ODPOWIEDZ