Czy dla dowolnych liczb całkowitych a i b liczba \(\displaystyle{ a^{3}b - ab^{3}}\) przystaje do 0 modulo 3 ? (dzieli się przez 3 bez reszty )
\(\displaystyle{ a^{3}b - ab^{3} \equiv 0 (mod 3)}\)
Proszę o w miarę możliwości szybką odpowiedź
Podzielność przez 3...
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Podzielność przez 3...
\(\displaystyle{ a^{3}b-ab^{3}=ab(a-b)(a+b)}\)
teraz, jeśli któraś z liczb a,b przystaje do 0, to ab przystaje do zera.
jeśli obydwie z liczb dają taką samą resztę z dzielenia przez 3, to a-b przystaje do 0
jeśli dają różną resztę z dzielenia przez 3 to
\(\displaystyle{ a \equiv 1(mod3)}\)\(\displaystyle{ b\equiv 2(mod3)}\) lub na odwrót, a wtedy:
\(\displaystyle{ a+b \equiv 3 \equiv 0 (mod3)}\), czyli nasze wyrażenie dzieli się przez 3
teraz, jeśli któraś z liczb a,b przystaje do 0, to ab przystaje do zera.
jeśli obydwie z liczb dają taką samą resztę z dzielenia przez 3, to a-b przystaje do 0
jeśli dają różną resztę z dzielenia przez 3 to
\(\displaystyle{ a \equiv 1(mod3)}\)\(\displaystyle{ b\equiv 2(mod3)}\) lub na odwrót, a wtedy:
\(\displaystyle{ a+b \equiv 3 \equiv 0 (mod3)}\), czyli nasze wyrażenie dzieli się przez 3
Podzielność przez 3...
Co masz na myśli pisząc, że któraś z liczb przystaje do zera?
polskimisiek pisze:jeśli któraś z liczb a,b przystaje do 0
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Podzielność przez 3...
Jeśli \(\displaystyle{ a \equiv 0(mod3) b \equiv 0(mod3)}\), to \(\displaystyle{ ab \equiv 0 (mod3)}\)
Podzielność przez 3...
A co jeśli a i b to dowolne liczby całkowite?
Tzn. nie wychodzimy z założenia, że przystają do 0 mod 3.
Tzn. nie wychodzimy z założenia, że przystają do 0 mod 3.
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Podzielność przez 3...
No tutaj rozpatrzyłem wszystkie możliwe przypadki. Oczywiście \(\displaystyle{ a \equiv 0 1 2 (mod3)}\) i masz opis wszystkiego w moim pierwszym poście