Podzielność z sześcianami

[mol_ksiazkowy]

Dla jakich \(\displaystyle{ m, n}\); \(\displaystyle{ n^3-1}\) dzieli sie przez \(\displaystyle{ m}\) a \(\displaystyle{ m^3-1}\) dzieli sie przez \(\displaystyle{ n}\) ?

[kerajs]

Na pewno spełnia
\(\displaystyle{ m=n^2+n+1=n(n+1)+1}\)
bo
\(\displaystyle{ n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)=(n-1)m\\
m^3-1=(n(n+1)+1)^3-1=n^3(n+1)^3+3n^2(n+1)^2+3n(n+1)+1-1=\\=n(n^2(n+1)^3+3n(n+1)^2+3(n+1))}\)
choć może są i inne rozwiązania, np:
\(\displaystyle{ n=4,m=9}\)