liczba z numerem telefonu

[Yelon]

Mam takie dziwne zadanie, za które nie wiem nawet jak się zabrać.

Otóż mam pokazać, że istnieje taka liczba \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\), że \(\displaystyle{ 2^{k}}\) zaczyna się "moim numerem telefonu" (pierwsze dziewięć cyfr liczby \(\displaystyle{ 2^{k}}\)). Czy to oznacza, że dla dużych \(\displaystyle{ k}\) mamy tu aż taką dowolność (na przykład na pierwszych 9 miejscach są same "9", albo 989 878 686 itd.?)

Proszę o pomoc

[Premislav]

Proponuję zajrzeć do tego przyjemnego artykułu:

... ch_dwojki/

[Yelon]

Dzięki!

[arek1357]

Święta prawda mam to samo.

[Yelon]

Mam pytanie do tego artykułu. Mianowicie jest tam napisane, że jak już mamy zapis:

\(\displaystyle{ 7 \cdot 10^{k}<2^{n}<8 \cdot 10^{k}}\), teraz logarytmujemy i otrzymujemy:

\(\displaystyle{ k+\log_{10}7<n\log_{10}2<k+\log_{10}8}\). Jest teraz napisane, że \(\displaystyle{ k}\) jest równe \(\displaystyle{ \left[ n\log_{10}2\right]}\). Dlaczego?

Przecież \(\displaystyle{ \log_{10}7<n\log_{10}2 - \left[ n\log_{10}2\right] <\log_{10}8}\) nie jest prawdą dla każdego \(\displaystyle{ n}\)?

[kinia7]

\(\displaystyle{ k+\log_{10}7<n\log_{10}2<k+\log_{10}8}\). Jest teraz napisane, że \(\displaystyle{ k}\) jest równe \(\displaystyle{ \left[ n\log_{10}2\right]}\). Dlaczego?

\(\displaystyle{ k\in \mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ \log_{10}7<1\ \ \wedge\ \ \log_{10}8<1}\)
czyli
\(\displaystyle{ n\log_{10}2=k+a}\), gdzie \(\displaystyle{ \log_{10}7<a<\log_{10}8\ \ \Rightarrow \ \ \lfloor n\log_{10}2\rfloor=k}\)