Układy równań modulo

ooolllaaa8883 · Post autor: **ooolllaaa8883** » 15 lis 2016, o 16:27

Który z układów równań na pewno ma rozwiązanie? Odpowiedź uzasadnij. Rozwiąż, o ile to możliwe, drugi z nich.

1) \(\displaystyle{ \begin{cases} x=2\pmod{5} \\ x=7\pmod{16} \end{cases}}\)

2) \(\displaystyle{ \begin{cases} x=2\pmod{5} \\ x=7\pmod{15} \end{cases}}\)

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 15 lis 2016, o 16:51

w drugim masz:

\(\displaystyle{ x=7+15l}\) takie rozwiązanie

a pierwsze sobie sama policz.

ooolllaaa8883 · Post autor: **ooolllaaa8883** » 15 lis 2016, o 17:05

w jaki sposób rozwiązuje się tego typu układy równań?

Chewbacca97 · Post autor: **Chewbacca97** » 15 lis 2016, o 18:13

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 2 \pmod {5} /\cdot 3\\ x \equiv 7 \pmod {15} \end{cases} \\ \begin{cases} 3x \equiv 6 \pmod{15} \\ x \equiv 7 \pmod {15} \end{cases}}\)

Odejmujemy stronami:

\(\displaystyle{ 2x \equiv -1 \equiv 14 \pmod{15} \\ x \equiv 7 \pmod{15}}\)

I otrzymujemy: \(\displaystyle{ x = 7 + 15k}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in \mathbb{Z}}\).

Drugi przykład rozwiąż analogicznie.

ooolllaaa8883 · Post autor: **ooolllaaa8883** » 15 lis 2016, o 22:31

a odbiegając od zadania, można wykonać takie działanie?
\(\displaystyle{ 2y=-6(mod7) \Rightarrow y=-3(mod7)}\)

Chewbacca97 · Post autor: **Chewbacca97** » 15 lis 2016, o 23:20

Tak, \(\displaystyle{ 2y \equiv -6 \equiv 1 \pmod{7} \Rightarrow y \equiv -3 \equiv 4\pmod{7}}\).