liczba jako suma kwadratów

[Yelon]

Pokazać, że każdą liczbę naturalną \(\displaystyle{ m\in\mathbb{N}}\) można zapisać jako "suma ze znakami" kwadratów \(\displaystyle{ n}\) pierwszych liczb naturalnych. Inaczej:

\(\displaystyle{ \forall m\in\mathbb{N} \ \ \exists n\in\mathbb{N} \ : \ m= \pm 1^{2} \pm 2^{2} \pm 3^{2} \pm \ldots \pm n^{2}}\).

Jak to pokazać?

[Zahion]

Zwardoń :
Indukcja.

hint:    

\(\displaystyle{ \left( k+1\right)^{2} - \left( k+2\right)^{2} - \left( k+3\right)^{2} + \left( k+4\right)^{2} = 4}\)

[Yelon]

widzę hinta ale nie wiem co dalej

[Lider_M]

To znaczy, że jak umiesz przedstawić tak liczbę \(\displaystyle{ m_1}\), to będziesz umiał również \(\displaystyle{ m_1+4}\).

[Yelon]

tak tak, to wiem, ale co z resztą? 1,2 i 3?

[Lider_M]

Znajdź takie przedstawienie (dla \(\displaystyle{ 4}\) też).

[bakala12]

Yelon, tutaj działa taka rozszerzona wersja indukcji. Jak sprawdzisz, że działa dla \(\displaystyle{ 1,2,3,4}\) i pokażesz, że jeśli działa dla \(\displaystyle{ m}\) to działa też dla \(\displaystyle{ m+4}\), to będzie działać dla każdego \(\displaystyle{ m}\).

[Yelon]

to wszystko wiem, jedyny problem to mam ze znalezieniem tych wzorów

Już mam, temat do zamknięcia.