Równanie diofantyczne w liczbach naturalnych

[ooolllaaa8883]

Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie: \(\displaystyle{ 7 x – 13 y = 44}\).

[dec1]

Biorąc równanie kolejno modulo \(\displaystyle{ 7}\) i \(\displaystyle{ 13}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 13y\equiv 5\pmod 7}\) oraz \(\displaystyle{ 7x\equiv 5\pmod{13}}\), stąd \(\displaystyle{ x=13k+10}\) i \(\displaystyle{ y=7l+2}\) dla pewnych \(\displaystyle{ k,l\in \mathbb N}\). Podstawiając to do równania wszystko się skraca i otrzymujemy \(\displaystyle{ k=l}\), stąd rozwiązaniami równania są wszystkie dwójki \(\displaystyle{ (x,y)=(13n+10,7n+2)}\) dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ n}\).