Równanie diofantyczne w liczbach naturalnych
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 2 lis 2016, o 14:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: PL
- Podziękował: 27 razy
Równanie diofantyczne w liczbach naturalnych
Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie: \(\displaystyle{ 7 x – 13 y = 44}\).
Ostatnio zmieniony 9 lis 2016, o 19:50 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Wszystkie wyrażenia matematyczne, nawet te najprostsze, zapisuj z użyciem LateXa.
Powód: Wszystkie wyrażenia matematyczne, nawet te najprostsze, zapisuj z użyciem LateXa.
Równanie diofantyczne w liczbach naturalnych
Biorąc równanie kolejno modulo \(\displaystyle{ 7}\) i \(\displaystyle{ 13}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 13y\equiv 5\pmod 7}\) oraz \(\displaystyle{ 7x\equiv 5\pmod{13}}\), stąd \(\displaystyle{ x=13k+10}\) i \(\displaystyle{ y=7l+2}\) dla pewnych \(\displaystyle{ k,l\in \mathbb N}\). Podstawiając to do równania wszystko się skraca i otrzymujemy \(\displaystyle{ k=l}\), stąd rozwiązaniami równania są wszystkie dwójki \(\displaystyle{ (x,y)=(13n+10,7n+2)}\) dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ n}\).