Liczby względnie pierwsze

[squared]

Mam problem z dokończeniem rozważań na temat względności pierwszej liczb: \(\displaystyle{ x+1,2x+1,\dots, (n+1)x+1}\).

Założyłem, że nie są względnie pierwsze, tzn, \(\displaystyle{ \exists p\in\PP; p|sx+1, p|(s+t)x+1}\). Wtedy po prostych przekształceniach mamy, że \(\displaystyle{ p|tx \rightarrow p|t \vee p|x}\).

Pierwszy przypadek: \(\displaystyle{ p|x}\) doprowadziłem w miarę sprawnie do sprzeczności, że \(\displaystyle{ p\nmid x}\)..

Nie umiem jednak pokazać, że nie może być, że \(\displaystyle{ p|t}\). Jakieś wskazówki?

[Premislav]

Ale o co w ogóle chodzi z tą próbą rozwiązania? Przecież z założenia \(\displaystyle{ p| sx+1}\), więc nie może być \(\displaystyle{ p|sx}\), bo liczby \(\displaystyle{ sx}\) i \(\displaystyle{ sx+1}\) są względnie pierwsze.

Masz jakieś założenia odnośnie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ n}\)?

[squared]

Ale o co w ogóle chodzi z tą próbą rozwiązania? Przecież z założenia \(\displaystyle{ p| sx+1}\), więc nie może być \(\displaystyle{ p|sx}\), bo liczby \(\displaystyle{ sx}\) i \(\displaystyle{ sx+1}\) są względnie pierwsze.

Masz jakieś założenia odnośnie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ n}\)?

Zapomnij o tamtej "próbie". \(\displaystyle{ x,n \in \NN}\)


Mamy w \(\displaystyle{ p|tx \rightarrow p|t \vee p|n}\). Rozważam dwa możliwe przypadki:

\(\displaystyle{ (1) \ \ p|x}\)
Przypadek szybko doprowadza mnie do sprzeczności z założeniem, zatem nie mogę mieć \(\displaystyle{ p|x}\). Świetnie!

\(\displaystyle{ (2) \ \ p|t}\)
I jak w tym przypadku doprowadzić, do sprzeczności? Jak to się uda będzie znaczyło, że założenie iż podane liczby NIE są względnie pierwsze jest błędne, zatem SĄ względnie pierwsze. I nie wiem, jak ten przypadek ugryźć.

[Premislav]

Skoro założenia odnośnie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ n}\) są tylko takie, to drugiego przypadku nie da się doprowadzić do sprzeczności, bo i teza o tym, że liczby wymienione w treści są względnie pierwsze, wygląda na fałszywą.

Rozważmy \(\displaystyle{ x=1, n=3}\) - wówczas otrzymujemy liczby
\(\displaystyle{ 1+1, 2\cdot 1+1, 3\cdot 1+1, 4\cdot 1+1}\)
Jakoś nie wyglądają mi one na względnie pierwsze. Skąd masz takie zadanie?

-- 4 lis 2016, o 19:49 --

Tj. precyzując, nie są one parami względnie pierwsze, ale właśnie próbowałeś udowodnić, że są.

-- 4 lis 2016, o 20:11 --

Info: squared podał mi na PW materiały, z których można wyczytać, że w istocie chodziło o liczby
\(\displaystyle{ n!+1, 2\cdot n!+1, \dots (n+1)\cdot n!+1}\)
- w takim razie wszystko jasne. Rozwiązanie pozostawiam jako nietrudne ćwiczenie.