Dowód niewymierności

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
matfiz4life
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 13 mar 2016, o 11:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia

Dowód niewymierności

Post autor: matfiz4life »

Udowodnić, że \(\displaystyle{ 5\arctan (\sqrt{5})}\) jest niewymierne.
Ostatnio zmieniony 3 lis 2016, o 22:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Dowód niewymierności

Post autor: Premislav »

Oczywiście wystarczy udowodnić niewymierność liczby \(\displaystyle{ 2 \arctan(\sqrt{5})}\), bo iloczyn liczby wymiernej różnej od zera i liczby niewymiernej jest niewymierny.

Jeżeli \(\displaystyle{ \alpha=\arctan(\sqrt{5}),}\) to
\(\displaystyle{ \sin^2 \alpha= \frac{5}{6}, \cos^2 \alpha=\frac 1 6}\) i \(\displaystyle{ \cos(2\alpha)=-\frac 2 3}\).
I teraz hardkorowy lemat: jedyną liczbą \(\displaystyle{ w \in \QQ}\), dla której także \(\displaystyle{ \cos w \in \QQ}\), jest \(\displaystyle{ w=0}\).
Dowód jest do wyszperania np. gdzieś tu:

Kod: Zaznacz cały

https://books.google.pl/books?id=ov-IlIEo47cC&pg=PA17&source=gbs_toc_r&redir_esc=y&hl=pl#v=onepage&q&f=false


Rzecz jasna, to rozwiązanie to taki nieśmieszny żart, chętnie zobaczę coś ładnego.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Dowód niewymierności

Post autor: arek1357 »

A dla mnie to właśnie jest bardzo ładne.

I zapewniam bardzo śmieszny żart.
ODPOWIEDZ