Równanie Pella, liczba pierwsza
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11414
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Równanie Pella, liczba pierwsza
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest liczba pierwszą nieparzystą i \(\displaystyle{ p \equiv 1 \ (mod \ 4)}\) i \(\displaystyle{ n}\) jest liczba całkowitą nieujemną to istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ a, b}\) takie, że \(\displaystyle{ p^{2n+1}a^2 - b^2 =1}\)
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Równanie Pella, liczba pierwsza
Zapiszmy to równanie
\(\displaystyle{ b^2-p^{2n+1}a^2=-1}\)
na pewno ma rozwiązanie:
(1) \(\displaystyle{ b^2-p^{2n+1}a^2=1}\)
niech ono będzie: \(\displaystyle{ (b_{1},a_{1})}\) - najmniejsze
jak widać jedno musi być parzyste a drugie nieparzyste.
założenie, że \(\displaystyle{ b_{1}}\) parzyste prowadzi do sprzeczności bo:
\(\displaystyle{ 0=b_{1}^2=p^{2n+1}a^2+1=2 \mod 4}\) sprzeczność
zatem:
\(\displaystyle{ b_{1}=2b-1,a_{1}=2a}\)
podstawmy do (1)
\(\displaystyle{ (2b-1)^2-p^{2n+1}4a^2=1}\)
z tego:
\(\displaystyle{ (b-1)b=p^{2n+1}a^2}\)
ale: \(\displaystyle{ b, b-1}\) względnie pierwsze
więc:
I: \(\displaystyle{ b=u^2, b-1=p^{2n+1}v^2}\)
lub:
II: \(\displaystyle{ b=p^{2n+1}u^2, b-1=v^2}\)
w pierwszym przypadku u,v jest rozwiązaniem równania Pella:
\(\displaystyle{ b^2-p^{2n-1}a^2=1}\)
co prowadzi do sprzeczności, że: \(\displaystyle{ (b_{1},a_{1})}\) - najmniejsze rozwiązanie tegoż równania
pozostaje więc II:
\(\displaystyle{ b=p^{2n+1}u^2, b-1=v^2}\)
czyli:
\(\displaystyle{ p^{2n+1}u^2-1=v^2}\)
lub:
\(\displaystyle{ v^2- p^{2n+1}u^2=-1}\)
znaczy, że : (u,v) jest rozwiązaniem naszego ównania.
Chodzi o to, że w równaniu Pella typu:
\(\displaystyle{ x^2-dy^2=1}\)
jeśli d nie jest kwadratem liczby naturalnej to równanie to ma rozwiązanie a ponadto jeśli \(\displaystyle{ m}\) jest okresem rozwinięcia \(\displaystyle{ \sqrt{d}}\) w ułamek łańcuchowy to równie Pella:
\(\displaystyle{ x^2-dy^2=-1}\)
ma rozwiązanie jeśli \(\displaystyle{ m}\) jest liczbą nieparzystą
z zadania wynika, że w rozwinięciu łańcuchowym liczby: \(\displaystyle{ \sqrt{p^{2n+1}}=p^n \sqrt{p}}\) gdzie \(\displaystyle{ p=4l+1}\)
m jest liczbą nieparzystą.
\(\displaystyle{ b^2-p^{2n+1}a^2=-1}\)
na pewno ma rozwiązanie:
(1) \(\displaystyle{ b^2-p^{2n+1}a^2=1}\)
niech ono będzie: \(\displaystyle{ (b_{1},a_{1})}\) - najmniejsze
jak widać jedno musi być parzyste a drugie nieparzyste.
założenie, że \(\displaystyle{ b_{1}}\) parzyste prowadzi do sprzeczności bo:
\(\displaystyle{ 0=b_{1}^2=p^{2n+1}a^2+1=2 \mod 4}\) sprzeczność
zatem:
\(\displaystyle{ b_{1}=2b-1,a_{1}=2a}\)
podstawmy do (1)
\(\displaystyle{ (2b-1)^2-p^{2n+1}4a^2=1}\)
z tego:
\(\displaystyle{ (b-1)b=p^{2n+1}a^2}\)
ale: \(\displaystyle{ b, b-1}\) względnie pierwsze
więc:
I: \(\displaystyle{ b=u^2, b-1=p^{2n+1}v^2}\)
lub:
II: \(\displaystyle{ b=p^{2n+1}u^2, b-1=v^2}\)
w pierwszym przypadku u,v jest rozwiązaniem równania Pella:
\(\displaystyle{ b^2-p^{2n-1}a^2=1}\)
co prowadzi do sprzeczności, że: \(\displaystyle{ (b_{1},a_{1})}\) - najmniejsze rozwiązanie tegoż równania
pozostaje więc II:
\(\displaystyle{ b=p^{2n+1}u^2, b-1=v^2}\)
czyli:
\(\displaystyle{ p^{2n+1}u^2-1=v^2}\)
lub:
\(\displaystyle{ v^2- p^{2n+1}u^2=-1}\)
znaczy, że : (u,v) jest rozwiązaniem naszego ównania.
Chodzi o to, że w równaniu Pella typu:
\(\displaystyle{ x^2-dy^2=1}\)
jeśli d nie jest kwadratem liczby naturalnej to równanie to ma rozwiązanie a ponadto jeśli \(\displaystyle{ m}\) jest okresem rozwinięcia \(\displaystyle{ \sqrt{d}}\) w ułamek łańcuchowy to równie Pella:
\(\displaystyle{ x^2-dy^2=-1}\)
ma rozwiązanie jeśli \(\displaystyle{ m}\) jest liczbą nieparzystą
z zadania wynika, że w rozwinięciu łańcuchowym liczby: \(\displaystyle{ \sqrt{p^{2n+1}}=p^n \sqrt{p}}\) gdzie \(\displaystyle{ p=4l+1}\)
m jest liczbą nieparzystą.