jak obliczyć modulo?

[Lukashardwares]

nigdzie nie mogę znaleźć sposobu jak zrobić to zadanie:
W ciele \(\displaystyle{ \ZZ_{29}}\) obliczyć:a) \(\displaystyle{ 4\cdot 21^{-3}+3^4\cdot 5-2^{-6}}\)
mógłby ktoś objaśnić jak się to liczy?

[kerajs]

Ostatni składnik:
\(\displaystyle{ a=2 ^{-6}= \frac{1}{64} \\
64a=1(\mod 29) \Rightarrow a=5}\)

[Lukashardwares]

mógłbyś pokazać jak to wszystko się liczy i w jakiej kolejności?

[PabloG]

Witam.
To samo pytanie, jak dojść do rozwiązania? Wynik powinien wyjść 6.

A dokładniej, jak liczyć w takim przypadku potęgi ujemne inne niż -1 ? (np. właśnie -6)

[kerajs]

\(\displaystyle{ (4\cdot 21^{-3}+3^4\cdot 5-2^{-6})\pmod{29}=\\=((4\cdot 21^{-3})\pmod{29}+(3^4\cdot 5)\pmod{29}-(2^{-6})\pmod{29})\pmod{29}=\\=(12+28-5)\pmod{29}=35\pmod{29}=6}\)

Pomocnicze:
\(\displaystyle{ a=4\cdot 21^{-3}= \frac{4}{21^3}\\
(21^3a=4 )\pmod{29}\\
((-8)^3a=4)\pmod{29}\\
(64(-8)a=4)\pmod{29}\\
(6(-8)a=4)\pmod{29}\\
((-48)a=4)\pmod{29}\\
(10a=4)\pmod{29}\\
a=12}\)

[PabloG]

\(\displaystyle{ a=4\cdot 21^{-3}= \frac{4}{21^3}\\
(21^3a=4 )\pmod{29}}\)

Ok, to rozumiem

\(\displaystyle{ ((-8)^3a=4)\pmod{29}}\)

Skąd się bierze \(\displaystyle{ -8}\)? Dalszych kroków też nie rozumiem, skąd się bierze \(\displaystyle{ 64}\) a potem \(\displaystyle{ 6}\)?

\(\displaystyle{ (64(-8)a=4)\pmod{29}\\
(6(-8)a=4)\pmod{29}\\
((-48)a=4)\pmod{29}\\
(10a=4)\pmod{29}\\
a=12}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ 21\equiv -8\pmod{29}}\)

\(\displaystyle{ 64=(-8)^2}\)

\(\displaystyle{ 64\equiv 6\pmod{29}}\)

JK

[PabloG]

A skąd się biorą minusy?

[kerajs]

Skoro działania na resztach są czymś nieznanym to nie ma sensu ich wprowadzać. Ja je stosuję z lenistwa i niechęci do używania kalkulatora, a część z powyżej napisanych działań robiłem w pamięci.

Wersja bez uproszczanych reszt:
\(\displaystyle{ a=4\cdot 21^{-3}= \frac{4}{21^3}\\
(21^3a=4 )\pmod{29}\\
(9261a=4)\pmod{29}}\)
Podstawiasz za ,,a' kolejne liczby naturalne i sprawdzasz czy reszta z dzielenia \(\displaystyle{ 9261 \cdot a}\) przez 29 wynosi 4.
Wskazówka:
Lepiej w kalkulator wstukać \(\displaystyle{ (9261a-4):29}\) i sprawdzać czy wynik jest naturalny.

[PabloG]

\(\displaystyle{ (4 \cdot 21 ^{-3} + 3^{4} \cdot 5 - 2 ^{-6}) \pmod {29} \\

(4 \cdot 21 ^{-3}) \pmod {29} \\
a=4 \cdot 21 ^{-3} = \frac{4}{ 21^{3}}\\
(21 ^{3} a=4) \pmod {29}\\
(9261a=1) \pmod {29}\\
a=12\\
\\
(5 \cdot 3 ^{4}) \pmod {29} \\
a=5 \cdot 3 ^{4} = \frac{5}{ 3^{4}}\\
(3 ^{4} a=5) \pmod {29}\\
(81a=5) \pmod {29}\\
a=4\\
\\
(2 ^{-6}) \pmod {29} \\
a=2 ^{-6} = \frac{1}{ 2^{6}}\\
(2 ^{6} a=1) \pmod {29}\\
(64a=1) \pmod {29}\\
a=5}\)

Czy tak będzie dobrze? Czy jest jakiś sposób na znalezienie wyniku, czy trzeba "na piechotę" kalkulatorem liczyć?

[kerajs]

Czy tak będzie dobrze?

Błędnie policzyłeś drugi składnik sumy:
\(\displaystyle{ (5 cdot 3^4)pmod{29}=405 pmod{29}=28}\)

Czy jest jakiś sposób na znalezienie wyniku, czy trzeba "na piechotę" kalkulatorem liczyć?

Lepiej biegle obsługiwać kalkulator niż bazować na nieprzećwiczonych ilub niezrozumiałych patentach.

Ja upraszczając mam mniejsze liczby, więc w przykładzie:
\(\displaystyle{ (64a=1 )pmod{29}\
(6a=1)pmod{29}}\)
widzę że \(\displaystyle{ a=5}\), a tu:
\(\displaystyle{ (21^3b=4 )pmod{29}\
...\
(10b=4)pmod{29}}\)
skoro \(\displaystyle{ 10 cdot 3 pmod{29}=1}\) to \(\displaystyle{ 10 cdot 12 pmod{29}=4}\)
Jednak te skróty były możliwe tylko dzięki fartownym układom liczb w równaniach.

PS
Na forum są przykłady podobnych zadań, np: 381303.htm

[PabloG]

Dziękuje bardzo wszystkim za pomoc, trochę więcej teraz rozumiem