\(\displaystyle{ \sqrt[5]{5+ \sqrt[3]{3+ \sqrt{2} } }}\)
Nie mam pojęcia jak to zrobić
Dziękuje za wszelką pomoc
Sprawdź czy podana liczba jest wymierna
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Sprawdź czy podana liczba jest wymierna
\(\displaystyle{ x=\sqrt[5]{5+ \sqrt[3]{3+ \sqrt{2} } }\\
x^5-5=\sqrt[3]{3+ \sqrt{2} }\\
((x^5-5)^3-3)^2=2}\)
Wszystkie współczynniki tego wielomianu będą całkowite, ale potrzebuję jedynie skrajnych:
\(\displaystyle{ x^{30}+.....................+(((-5)^3-3)^2-2) =0\\
x^{30}+.....................+16382 =0\\
x^{30}+.....................+2 \cdot 8191=0}\)
(Zarówno 2 jak i 8191 są pierwsze)
Wystarczy teraz sprawdzić czy równanie
\(\displaystyle{ ((x^5-5)^3-3)^2=2}\)
będzie spełnione przez którąkolwiek z liczb: \(\displaystyle{ 1,-1,2,-2, 8191,-8191, 16382,-16382}\)
Żadna z nich nie daje równości więc, zgodnie z twierdzeniem o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych, x nie jest wymierne.
x^5-5=\sqrt[3]{3+ \sqrt{2} }\\
((x^5-5)^3-3)^2=2}\)
Wszystkie współczynniki tego wielomianu będą całkowite, ale potrzebuję jedynie skrajnych:
\(\displaystyle{ x^{30}+.....................+(((-5)^3-3)^2-2) =0\\
x^{30}+.....................+16382 =0\\
x^{30}+.....................+2 \cdot 8191=0}\)
(Zarówno 2 jak i 8191 są pierwsze)
Wystarczy teraz sprawdzić czy równanie
\(\displaystyle{ ((x^5-5)^3-3)^2=2}\)
będzie spełnione przez którąkolwiek z liczb: \(\displaystyle{ 1,-1,2,-2, 8191,-8191, 16382,-16382}\)
Żadna z nich nie daje równości więc, zgodnie z twierdzeniem o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych, x nie jest wymierne.
-
bakala12
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Sprawdź czy podana liczba jest wymierna
Inaczej. Pokażę, że ta liczba jest niewymierna. Załóżmy, nie wprost, że jest ona wymierna i jest równa \(\displaystyle{ w}\).
Stąd przekształcając kolejno dochodzimy do wniosku, że:
\(\displaystyle{ w=\sqrt[5]{5+\sqrt[3]{3+\sqrt{2}}} \\
w^{5}-5 = \sqrt[3]{3+\sqrt{2}} \\
\left(w^{5}-5\right)^{3}-3=\sqrt{2}}\)
Ponieważ, założyliśmy, że \(\displaystyle{ w \in \QQ}\), to również \(\displaystyle{ \left(w^{5}-5\right)^{3}-3 \in \QQ}\) (bo dodawanie i mnożenie liczb wymiernych daje liczbę wymierną). Jednakże, ten wniosek wraz z ostatnią równością oznaczałby, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest liczbą wymierną. Tymczasem wiemy, że tak nie jest. Otrzymana sprzeczność dowodzi niewymierności wyjściowej liczby.
Stąd przekształcając kolejno dochodzimy do wniosku, że:
\(\displaystyle{ w=\sqrt[5]{5+\sqrt[3]{3+\sqrt{2}}} \\
w^{5}-5 = \sqrt[3]{3+\sqrt{2}} \\
\left(w^{5}-5\right)^{3}-3=\sqrt{2}}\)
Ponieważ, założyliśmy, że \(\displaystyle{ w \in \QQ}\), to również \(\displaystyle{ \left(w^{5}-5\right)^{3}-3 \in \QQ}\) (bo dodawanie i mnożenie liczb wymiernych daje liczbę wymierną). Jednakże, ten wniosek wraz z ostatnią równością oznaczałby, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest liczbą wymierną. Tymczasem wiemy, że tak nie jest. Otrzymana sprzeczność dowodzi niewymierności wyjściowej liczby.