Równanie diofantyczne

[KrolKubaV]

Wyznacz wszystkie pary \(\displaystyle{ (a, b)}\) dodatnich liczb całkowitych, dla których \(\displaystyle{ 2a+b+3\sqrt{ab} = 3 \sqrt{a}+3 \sqrt{b}}\).

[kerajs]

\(\displaystyle{ 2( \sqrt{a} )^2+3 \sqrt{a}( \sqrt{b}-1)+b-3 \sqrt{b}=0 \\
\Delta=( \sqrt{b}+3 )^2\\
.....}\)

[KrolKubaV]

Ok, dzieki Ja doszedłem do postaci:
\(\displaystyle{ a+\sqrt{ab}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(3-\sqrt{a}-\sqrt{b})}\), z czego mam, że \(\displaystyle{ 3>\sqrt{a}+\sqrt{b}}\), a potem skorzystałem, że obie liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są całkowite, więc rozwiązaniami mogą być tylko pary liczb całkowitych dodatnich spełniających tą nierówność. Wyznaczyłem te pary i po sprawdzeniu otrzymałem, że równanie spełnia tylko para liczb \(\displaystyle{ a=1}\) i \(\displaystyle{ b=1}\). Czy to tez jest dobrze?

[kerajs]

Dobrze, ale trochę sobie utrudniasz. Ponadto musisz wspomagać się kalkulatorem np. dla \(\displaystyle{ a=b=2}\)

\(\displaystyle{ a+\sqrt{ab}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(3-\sqrt{a}-\sqrt{b})}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{a}( \sqrt{a} +\sqrt{b})=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(3-\sqrt{a}-\sqrt{b})}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a}=3-\sqrt{a}-\sqrt{b}\\
....}\)
Będzie łatwiej?

[KrolKubaV]

Faktycznie, że tez tego nie zauważyłem... to duzo uproszcza rozwiazanie zadania. Dzieki za pomoc!