Generowanie rozwiązań równania Pella

[matfiz4life]

Wie ktoś na czym polega generowanie rozwiązań równania Pella i jak się to DOKŁADNIE robi? Np. dla \(\displaystyle{ D=2}\) (czyli \(\displaystyle{ x^2-2y^2=1}\)).

[kerajs]

1. Jeżeli równanie spełnia para naturalnych dodatnich \(\displaystyle{ (k,l)}\) to rozwiązaniem będzie także \(\displaystyle{ (-k,l)}\), \(\displaystyle{ (k,-l)}\) i \(\displaystyle{ (-k,-l)}\)

2. Wpierw szukam pierwszego rozwiązania (pary naturalnych dodatnich)
\(\displaystyle{ x= \sqrt{ 1+2y^2}}\)
a)zał: \(\displaystyle{ y=1}\)
\(\displaystyle{ x= \sqrt{ 1+2 \cdot 1^2}= \sqrt{3}\not \in \CC}\)
b)zał: \(\displaystyle{ y=2}\)
\(\displaystyle{ x= \sqrt{ 1+2 \cdot 2^2}= \sqrt{9}=3 \in \CC}\)

Pierwsze rozwiązanie to \(\displaystyle{ x_1=3, y_1=2}\)

3. Kolejne rozwiązanie uzyskuję ze wzoru:
\(\displaystyle{ (x_1+y_1 \sqrt{2})^n=x_n+y_n \sqrt{2}\\
\mbox{Zal: }n=2\\
(3+2 \sqrt{2} )^2=17+12 \sqrt{2}}\)
co daje nową parę \(\displaystyle{ (17,12)}\)
\(\displaystyle{ \mbox{Zal: }n=3\\
(3+2 \sqrt{2} )^3=99+70 \sqrt{2}}\)
co daje nową parę \(\displaystyle{ (99,70)}\)
\(\displaystyle{ \mbox{Zal: }n=4\\
(3+2 \sqrt{2} )^4=...+... \sqrt{2}}\)
co daje nową parę (...,...)
itd.

4. Rozwiązanie w całkowitych uzyskujesz z naturalnych wg pkt. 1.

[arek1357]

Może bardziej czytelnie:

\(\displaystyle{ x= \mp \frac{(3-2 \sqrt{2})^n+(3+2 \sqrt{2})^n} {2}}\)


\(\displaystyle{ y= \pm \frac{(3-2 \sqrt{2})^n-(3+2 \sqrt{2})^n} {4} \sqrt{2} , n \in N}\)