Jedno rozwiązanie w liczbach całkowitych

[joane20]

Pokazać, że \(\displaystyle{ 2^{m}- 3^{n}=1}\) ma tylko jedno rozwiązanie w liczbach całkowitych.

[Premislav]

Ale to nie jest prawda. Jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ m=1, n=0}\). Inne rozwiązanie: \(\displaystyle{ m=2, n=1}\). Może miały być całkowite dodatnie??

[joane20]

W poleceniu mam podane, że tylko w całkowitych.
Zaczęliśmy zadanie od założenia, że \(\displaystyle{ m,n<0}\). Nad resztą mamy pogłowić się sami. Chyba, ze rzeczywiście jest tu jakiś błąd...

[Premislav]

No to treść jest błędna. Przy ograniczeniu do liczb całkowitych dodatnich chyba jest OK i można sprawdzić modulo \(\displaystyle{ 4}\). Dla \(\displaystyle{ m>1}\) cztery dzieli \(\displaystyle{ 2^m}\), zatem gdy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, to \(\displaystyle{ 3^n\equiv 1\pmod{4}}\), wówczas po lewej dostajemy resztę \(\displaystyle{ 3}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\), a po prawej - resztę \(\displaystyle{ 1}\), sprzeczność.
Dla \(\displaystyle{ m>1}\) i nieparzystych mamy sprzeczność modulo \(\displaystyle{ 3}\),
bo \(\displaystyle{ 2^{2p+1}=2 \cdpt (3+1)^p \equiv 2\pmod{3}}\).
Pozostaje przypadek \(\displaystyle{ m}\) parzystego, \(\displaystyle{ n}\) parzystego i wtedy odpowiedzią jest równanie Pella.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_Pella

(każde rozwiązanie tego równania dla \(\displaystyle{ n,m}\) parzystych byłoby w szczególności rozwiązaniem równania Pella z \(\displaystyle{ D=1}\), więc...).
No i jeszcze bezpośrednio sprawdzamy, że dla \(\displaystyle{ m=n=1}\) równość nie zachodzi...

-- 23 paź 2016, o 23:25 --

A sorry, to nie wyczerpuje wszystkich możliwości, za to zdublowałem ten przypadek z równaniem Pella, jeszcze \(\displaystyle{ n}\) nieparzyste i \(\displaystyle{ m>1}\), z tego właśnie wychodzi rozwiązanie \(\displaystyle{ m=2, n=1}\).-- 23 paź 2016, o 23:41 --Jeżeli \(\displaystyle{ m\ge 3}\) oraz \(\displaystyle{ n=2k+1}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \NN}\),
to dostajemy równanie \(\displaystyle{ 2^m-3\cdot 9^k=1}\), które jest sprzeczne z uwagi na analizę reszt z dzielenia przez \(\displaystyle{ 8}\) (dla \(\displaystyle{ m \ge 3}\) liczba \(\displaystyle{ 2^m}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 8}\), zaś \(\displaystyle{ 9^k \equiv 1\pmod{8}}\), toteż...).
Pozostaje sprawdzenie \(\displaystyle{ m=1 \vee m=2}\) i \(\displaystyle{ n}\) nieparzystych (przeważnie lewa strona będzie wówczas ujemna).

[joane20]

Nie bardzo wiem skąd wzięło się uzasadnienie z równania Pella. Jeszcze nie mieliśmy takiego pojęcia na zajęciach. Byłabym wdzięczna za objaśnienie

[Premislav]

Równanie Pella tutaj jest zbędne, bo przecież posłużyło mi ono do rozwalenia przypadku, w którym \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) są parzyste (i całkowite dodatnie, oczywiście), a on się zawiera w przypadku \(\displaystyle{ m>1, n}\) parzyste, który (co napisałem zaraz na początku) psuje się modulo \(\displaystyle{ 4}\), bo \(\displaystyle{ 3^{2n}=(8+1)^{n}\equiv 1\pmod{4}}\) oraz dla \(\displaystyle{ m>1}\) mamy \(\displaystyle{ 2^m \equiv 0\pmod{4}}\), więc po lewej otrzymujemy resztę \(\displaystyle{ 3}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\), a po prawej - resztę \(\displaystyle{ 1}\).

Dałem Ci link, można poczytać. Chodziło o to, że gdy \(\displaystyle{ m=2s, n=2t}\) dla \(\displaystyle{ t,s \in \NN}\),
to \(\displaystyle{ 2^m-3^n=(2^s)^2-(3^t)^2}\) i każde rozwiązanie równania
\(\displaystyle{ (2^s)^2-(3^t)^2=1}\) w szczególności byłoby rozwiązaniem równania Pella z \(\displaystyle{ x:=2^s, y:=3^t}\) i \(\displaystyle{ D=1}\) (wedle oznaczeń z zalinkowanej stronki). No a to jest rozwiązany problem (oczywiście \(\displaystyle{ 1}\) jest kwadratem liczby naturalnej).
[ale sam bym tego nie wykazał na pewno]

[dec1]

Ale pałujesz Premislav

Przypadek I - \(\displaystyle{ n}\) parzyste:
\(\displaystyle{ 3^n\equiv 1\pmod{4}}\), zatem \(\displaystyle{ 2^m\equiv 2\pmod{4}}\), stąd \(\displaystyle{ m=1}\), więc \(\displaystyle{ n=0}\).

Przypadek II - \(\displaystyle{ n}\) nieparzyste:
\(\displaystyle{ 3^n\equiv 3\pmod{8}}\), zatem \(\displaystyle{ 2^m\equiv 4\pmod{8}}\), stąd \(\displaystyle{ m=2}\), więc \(\displaystyle{ n=1}\).

Zatem jedyne rozwiązania tego równania w liczbach całkowitych to \(\displaystyle{ (m,n)=(1,0)}\) i \(\displaystyle{ (m,n)=(2,1)}\).

[Premislav]

Oj tam, oj tam, niepotrzebnie pisałem o tym równaniu Pella, bo mi się coś pomerdało, przecież koniec końców moje rozwiązanie opiera się na tym samym, co napisałeś, tylko jest mniej zwarte.

[joane20]

Macie może wskazówki jak podejść do tego typu zadań? Jestem na 2. roku studiów matematycznych i właśnie rozpoczęła się teoria liczb. Nie wiem dlaczego sprawia mi to trochę problemów. Właściwie to jakoś ciężko mi wpaść na pomysł kiedy przez jakie modulo mam sprawdzić..
Są może na to jakieś sprawdzone sposoby, czy potrzeba na to ćwiczeń, ćwiczeń i jeszcze raz ćwiczeń.. ?

[bakala12]

Twierdzenie Mihailescu