Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ a > b}\) oraz a i b są względnie pierwsze, to dla \(\displaystyle{ 0 \le m < n}\) zachodzi \(\displaystyle{ NWD(a^{n} - b^{n}, a^{m} - b^{m}) = a^{NWD(m,n)} - b^{NWD(m,n)}}\)
Jakaś podpowiedź?
Czy \(\displaystyle{ NWD(a,b) = 1 \Leftrightarrow NWD(a^{n}, b^{m}) = 1}\)?
NWD potęg względnie pierwszych liczb
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
NWD potęg względnie pierwszych liczb
Podpowiedź: zacznij wykonywać algorytm Euklidesa. Co dostrzegasz?
dla \(\displaystyle{ a,b,m,n \in \NN^+}\) z pewnością. Dowód - ćwiczenie. Wskazówka do chyba nie najprostszego podejścia: ustal dowolne \(\displaystyle{ a,b \in \NN^+}\) i napisz sobie ich rozkłady na czynniki pierwsze. Jak wówczas wygląda rozkład \(\displaystyle{ a^n}\) oraz \(\displaystyle{ b^m}\) na czynniki pierwsze?Czy \(\displaystyle{ NWD(a,b) = 1 \Leftrightarrow NWD(a^{n}, b^{m}) = 1}\)?