Udowodnij korzystając z aksjomatów

[max123321]

Udowodnij korzystając z aksjomatów:
Jeśli \(\displaystyle{ c>0}\) i \(\displaystyle{ ac>bc}\), to \(\displaystyle{ a>b}\)

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Najpierw zauważmy, że \(\displaystyle{ c}\) jest niezerowe posiada zatem element odwrotny \(\displaystyle{ c ^{-1}}\). Z prawa trichotomii, wiemy,że albo jest \(\displaystyle{ c^{-1} <0}\) albo \(\displaystyle{ c^{-1}=0}\) albo \(\displaystyle{ c^{-1}>0}\). Rozpatrzmy \(\displaystyle{ c^{-1} <0}\). Skoro \(\displaystyle{ c>0}\) i \(\displaystyle{ 0>c^{-1}}\) to ze zgodności z mnożeniem \(\displaystyle{ c \cdot 0>0 \cdot c^{-1}}\) z czego wynika, że \(\displaystyle{ 0>0}\). Sprzeczność. Rozpatrzmy \(\displaystyle{ c ^{-1} =0}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ cc ^{-1}=1}\), ale z tego wynika, że \(\displaystyle{ c \cdot 0=0 \neq 1}\). Sprzeczność. Musi być zatem \(\displaystyle{ c ^{-1}>0}\). Skoro \(\displaystyle{ c > 0}\), to ze zgodności z mnożeniem możemy wymnożyć nierówność \(\displaystyle{ ac>bc}\) przez \(\displaystyle{ c ^{-1}}\) i mamy:
\(\displaystyle{ \left( ac\right)c ^{-1} >\left( bc\right)c ^{-1}}\). Z łączności \(\displaystyle{ a\left( cc ^{-1}\right)>b\left( cc ^{-1}\right)}\). Z elementu przeciwnego: \(\displaystyle{ a \cdot 1<b \cdot 1}\), z istnienia jedynki \(\displaystyle{ a<b}\) co należało wykazać.

Jeśli można jakoś sprytniej/szybciej/inaczej to zrobić to proszę o komentarz.

[Cytryn]

Co to jest zgodność z mnożeniem? Mamy przecież \(\displaystyle{ 3 > 2}\) i \(\displaystyle{ -10 > -11}\), ale \(\displaystyle{ -30 < -22}\).

[max123321]

A no racja mój błąd. Poprawka:
Rozpatrzmy \(\displaystyle{ c^{-1} <0}\). Skoro \(\displaystyle{ c^{-1}<0}\) i \(\displaystyle{ c>0}\) to ze zgodności z mnożeniem \(\displaystyle{ c^{-1} \cdot c<0 \cdot c}\) z czego wynika, że \(\displaystyle{ 1<0}\). Sprzeczność.
Teraz się zgadza?

[Cytryn]

Ja znam taką definicję, że \(\displaystyle{ a > b}\), gdy \(\displaystyle{ a - b > 0}\).

Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ ac - bc = c (a-b) > 0}\), więc jak pokażemy, że \(\displaystyle{ c^{-1} > 0}\), będzie już koniec, bo \(\displaystyle{ a - b = c^{-1} c (a-b) > 0}\).

Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ c^{-1} \le 0}\). Mnożymy obie strony przez \(\displaystyle{ c > 0}\) i dostajemy \(\displaystyle{ 1 \le 0}\). Sprzeczność.

Wydaje mi się, że takie rozwiązanie jest ładniejsze. Ale czy poprawne? Niech ktoś inny to oceni.

[max123321]

No, ale to jest chyba prawie to samo co ja pokazałem. Bo w sumie to trudność w tym zadaniu to pokazać, że \(\displaystyle{ c^{-1} > 0}\), a to wynika, ze zgodności z mnożeniem. Tak?

[Cytryn]

Ale co to jest zgodność z mnożeniem?

[a4karo]

Żeby nie dywagowac proponuję żebyś wpisał tu aksjomaty

[max123321]

Nie no nie będę pisać tu wszystkich aksjomatów to jest w dowolnej książce do analizy. Napiszę tylko co to jest zgodność z mnożeniem:

Jeśli \(\displaystyle{ a<b}\) i \(\displaystyle{ 0<c}\) to \(\displaystyle{ ac<bc}\)