Dowieść, że równanie ma rozwiązanie w l. całkowitych

[Poszukujaca]

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) równanie \(\displaystyle{ (x+1)^{3}+(x+2)^{3}+...+(x+n)^{3}=y^{3}}\) ma rozwiązanie w liczbach całkowitych \(\displaystyle{ x, y}\).

[kerajs]

Zobacz co wychodzi gdy \(\displaystyle{ x=-k}\) dla \(\displaystyle{ n=2k}\) oraz co gdy \(\displaystyle{ x=-k-1}\) dla \(\displaystyle{ n=2k+1}\)

[Poszukujaca]

Dlaczego akurat tak? Nie widzę, by coś mi to dało.

\(\displaystyle{ (1-k)^{3}+(2-k)^{3}+(3-k)^{3}+...+(2k-k)^{3}=(2k-1) \cdot (-k^{3})+k^{3}-3ak^{2}+3bk+c= y^{3}}\)

\(\displaystyle{ -2k^{4}+2k^{3}-3ak^{2}+3bk+c=y^{3}}\)

Tylko tak potrafię to rozpisać.

[kerajs]

\(\displaystyle{ (x+1)^{3}+(x+2)^{3}+...+(x+n)^{3}=y^{3}}\)
Niech \(\displaystyle{ n=2k \wedge x=-k}\). Wtedy mam:
\(\displaystyle{ (-k+1)^{3}+(-k+2)^{3}+...+((-k)+k)^3+...+((-k)+(2k)-2)^3+((-k)+(2k)-1)^3+(-k+2k)^{3}=
-(k-1)^3-(k-2)^3-....-1^3+0^3+1^3+....+(k-2)^3+(k-1)^3+(k)^3=\\=k^3=y^3\\
y=k}\)
Nieparzyste n da rozwiązanie \(\displaystyle{ y=0}\). Chyba nie muszę tego rozpisywać?