Względna pierwszość w grupie modulo

[Borneq]

Aby określić czy coś jest pierwiastkiem pierwotnym należy zbadać że przyjmuje wszystkie wartości ale różne od tych, które nie są względnie pierwsze z grupą modulo. Tak więc dla modulo \(\displaystyle{ 10}\) są dwa pierwiastki : \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 7}\).
\(\displaystyle{ 3}\) ma ma kolejne reszty: \(\displaystyle{ 3\ 9\ 7\ 1}\) czyli \(\displaystyle{ 4}\)
\(\displaystyle{ 7}\) ma ma kolejne reszty: \(\displaystyle{ 7\ 9\ 3\ 1}\) czyli \(\displaystyle{ 4}\)
podobnie \(\displaystyle{ 4}\) reszty ma \(\displaystyle{ 2(2\ 4\ 8\ 6)}\) i \(\displaystyle{ 8(8\ 4\ 2\ 6)}\) ale liczby \(\displaystyle{ 0,2,4,5,6,8}\) wszystkie nie są względnie pierwsze. Czy oblicza się tak, że rozkłada się \(\displaystyle{ 10}\) na \(\displaystyle{ 2 \cdot 5}\) i eliminuje \(\displaystyle{ 0}\), oraz \(\displaystyle{ 2k}\) i \(\displaystyle{ 5k}\) ? \(\displaystyle{ (k=1,2,...)}\)
Czy pierwiastek pierwotny może oprócz wszystkich względnie pierwszych przyjąć w kolejnej reszcie którąś niepierwszą?

[Cytryn]

Nie może. Cytuję za Wikipedią:

Pierwiastek pierwotny modulo \(\displaystyle{ n}\) to taka liczba, że jej potęgi dają wszystkie możliwe reszty modulo \(\displaystyle{ n}\), które są względnie pierwsze z \(\displaystyle{ n}\).

[Borneq]

Tylko , czy z tego wynika że "i tylko takie" ?

[bakala12]

Tylko , czy z tego wynika że "i tylko takie" ?

Przemyśl to pytanie jeszcze raz. Przeczytaj jeszcze raz cytat powyżej. Zastanów się nad tym i natychmiast stwierdzisz, że nie ma innej rady i reszt nie względnie pierwszych z \(\displaystyle{ n}\) nie może być. Jeżeli chce się być dokładnym, to wynika to z prostego faktu teorii liczb:

Jeżeli \(\displaystyle{ NWD\left(a,n\right) = NWD\left(b,n\right)=1}\) dla liczb całkowitych \(\displaystyle{ a,b,n}\), to również \(\displaystyle{ NWD\left(ab,n\right)=1}\). Twierdzenie odwrotne do powyższego również jest prawdziwe.

Dla zrozumienia dlaczego tak jest polecam udowodnić to proste twierdzenie. W razie problemów, służę pomocą.