Podzielność z silnią

Brombal · Post autor: **Brombal** » 19 wrz 2016, o 18:00

Czy \(\displaystyle{ 1000!}\) dzieli się bez reszty przez \(\displaystyle{ 31 ^{33}}\) ?

Pozdrawiam
(znam odpowiedź )

KrolKubaV · Post autor: **KrolKubaV** » 19 wrz 2016, o 18:22

Dzieli się - zauważ, że liczba pierwsza \(\displaystyle{ 31}\) występuje w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(\displaystyle{ 1000!}\) tyle razy:
\(\displaystyle{ \left[ \frac{1000}{31} \right] + \left[ \frac{1000}{31 ^{2} } \right] =33}\)

karakuku · Post autor: **karakuku** » 19 wrz 2016, o 18:28

A skąd się wzięło to: \(\displaystyle{ + \left[ \frac{1000}{31 ^{2} } \right]}\)?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 19 wrz 2016, o 18:30

A dokłądniej tyle razy:
\(\displaystyle{ \left[ \frac{1000}{31} \right] + \left[ \frac{1000}{31 ^{2} } \right]+\left[ \frac{1000}{31 ^{3} } \right] +\dots=33}\)

Pomyśl dlaczego

(wsk. \(\displaystyle{ 31}\) jest liczba pierwszą)

KrolKubaV · Post autor: **KrolKubaV** » 19 wrz 2016, o 18:57

Zerknij sobie na lemat, udowodniony w zadaniu 31 ligii zadaniowej obozu OMG:
. Czesto sie to przydaje

karakuku · Post autor: **karakuku** » 19 wrz 2016, o 19:15

Dobra, dzięki. Ogarnąłem

Brombal · Post autor: **Brombal** » 19 wrz 2016, o 21:13

A ja tu się "nastrugałem" by sobie wzorek wyprowadzić a potem cwaniakować. A tu wystarczyło na obóz OMG sie wybrać.

Cytryn · Post autor: **Cytryn** » 20 wrz 2016, o 18:26

Przy odrobinie wysiłku można podać odpowiedź bez znaczka sumy. Znalazłem coś takiego:

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre%27s_formula

KrolKubaV · Post autor: **KrolKubaV** » 21 wrz 2016, o 07:59

Mógłbyś wytłumaczyć co znaczy
\(\displaystyle{ s_{p} \left( n\right)}\) ?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 21 wrz 2016, o 08:07

Suma cyfr liczby \(\displaystyle{ n}\) zapisanej przy podstawie \(\displaystyle{ p}\).