Tw odwrotne

[Janusz Tracz]

Witam zastanawia mnie czy prawdziwe jest stwierdzenie:
mam wielomian
\(\displaystyle{ W(x)=x^2-2}\)
i szukając pierwiastków w dzielnikach wyrazu wolnego wykażemy że żaden z nich nie jest pierwiastkiem
czyli \(\displaystyle{ W(\pm 1) \neq 0}\) i \(\displaystyle{ W(\pm 2) \neq 0}\)
to czy wnioskować możemy że pierwiastki wielomianu są niewymierne na podstawie tw odwrotnego to twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu.
Wykazaliśmy więc niewymierność \(\displaystyle{ \pm \sqrt{2}}\)

Myślałem o tym w ten sposób że jeśli wielomian ma mieć pierwiastki wymierne to muszą one byś w dzielnikach wyrazu wolnego a jeśli ich nie ma to pierwiastek wielomianu okazuje się niewymierny.

[clue]

Można i tak.

[a4karo]

A co powiesz o wielomianie \(\displaystyle{ x^2+1}\)?

[bakala12]

to czy wnioskować możemy że pierwiastki wielomianu są niewymierne na podstawie tw odwrotnego to twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu.
Wykazaliśmy więc niewymierność \(\displaystyle{ \pm \sqrt{2}}\)

Po części tak, a po części nie.
Po pierwsze nie odważyłbym się nigdzie napisać "twierdzenie odwrotne do twierdzenia o pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych".
Zastanów się. Twierdzenie, brzmi:

Jeżeli \(\displaystyle{ a=\frac{p}{q}}\) jest pierwiastkiem wymiernym (\(\displaystyle{ p,q \in \mathbb{Z}, \ q \neq 0, \ NWD\left(p,q\right)=1}\)) wielomianu o współczynnikach całkowitych \(\displaystyle{ a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots + a_{0}}\) to \(\displaystyle{ p|a_{0}}\) i \(\displaystyle{ q|a_{n}}\)

Tak się to twierdzenie formułuje (zwróć uwagę na założenie o NWD - ono jest bardzo istotne!). Teraz zastanów się, i je "odwróć", a przekonasz się, że dostaniesz zdanie, które ewidentnie jest fałszywe i przykładów na to nie brakuje. Więc byłbym ostrożny z takim odwracaniem twierdzeń.

Po drugie, niewymierność \(\displaystyle{ \pm \sqrt{2}}\) jest wnioskiem z tego twierdzenia, które definiuje pewien warunek wystarczający, który w żadnym wypadku nie jest konieczny.
Wniosek, o którym mowa (i jest on prawdziwy) można sformułować następująco:

Jeżeli \(\displaystyle{ x}\) jest rzeczywistym bądź zespolonym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots + a_{0}}\) o współczynnikach całkowitych i \(\displaystyle{ x}\) nie jest równy żadnej z liczb postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) gdzie \(\displaystyle{ p,q \in \mathbb{Z}, \ q \neq 0, \ NWD\left(p,q\right)=1, \ p|a_{0}, \ q|a_{n}}\), to \(\displaystyle{ x}\) nie jest liczbą wymierną.

[Janusz Tracz]

A co powiesz o wielomianie \(\displaystyle{ x^2+1}\)?

Powiem tylko tyle że był by użyteczny gdybym chciał udowodnić że \(\displaystyle{ \pm i\not\in\mathbb{Z}}\). Mogę też powiedzieć że nie ma pierwiastków rzeczywistych i jest bezużyteczny do dalszego rozważania. Bo do dowody niewymierności to ja dobieram pasujący mi wielomian a nie on jest podany.

Po części tak, a po części nie.
Po pierwsze nie odważyłbym się nigdzie napisać "twierdzenie odwrotne do twierdzenia o pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych".

Teraz rozumiem swój błąd. Polegał on na pomyleniu dowody nie wprost z twierdzeniem odwrotnym.

czyli można udowodnić nie wprost że "dowolny pierwiastek liczby pierwszej jest niewymienny "

więc na potrzeby dowodu rozpatrzmy wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^n+p}\) gdzie \(\displaystyle{ n>1}\)i \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą

jeśli \(\displaystyle{ W(x)}\)ma pierwiastki całkowite to była by to liczba ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{-1,1,-p,p\right\}}\)

Jak łatwo sprawdzić żadna z tych liczb nie pasuje bo \(\displaystyle{ p}\)musiało by być \(\displaystyle{ \pm 1 \vee 0}\)co jest sprzeczne z założeniem więc wnioskiem jest że \(\displaystyle{ \sqrt[n]{p}}\) jest niewymierny
\(\displaystyle{ CND}\)

Dziękuje za pomoc bakala12

[a4karo]

Sam napisałes coś takiego

Myślałem o tym w ten sposób że jeśli wielomian ma mieć pierwiastki wymierne to muszą one byś w dzielnikach wyrazu wolnego a jeśli ich nie ma to pierwiastek wielomianu okazuje się niewymierny.

a wielomian \(\displaystyle{ x^2+1}\) pokazuje, że to stwierdzenie jest nieprawdziwe (bo pierwiastki sa, ale nie są wymierne)

[bakala12]

Teraz rozumiem swój błąd. Polegał on na pomyleniu dowody nie wprost z twierdzeniem odwrotnym.

czyli można udowodnić nie wprost że "dowolny pierwiastek liczby pierwszej jest niewymienny "

więc na potrzeby dowodu rozpatrzmy wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^n+p}\) gdzie \(\displaystyle{ n>1}\) i \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą

jeśli \(\displaystyle{ W(x)}\) ma pierwiastki całkowite to była by to liczba ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{-1,1,-p,p\right\}}\)

Jak łatwo sprawdzić żadna z tych liczb nie pasuje bo pmusiało by być \(\displaystyle{ \pm 1 \vee 0}\) co jest sprzeczne z założeniem więc wnioskiem jest że \(\displaystyle{ \sqrt[n]{p}}\) jest niewymierny
CND

Doskonale!!! Szczególnie ważne, a zabrakło tego w mojej wypowiedzi, jest pogrubione zdanie. Bardzo ważne, że sam wyciągnąłeś ten wniosek Cieszę się, że mogłem pomóc
Pozdrawiam

[Janusz Tracz]

Bardzo dziękuje za pomoc i kłaniam się nisko