Wykaż, że jeśli liczba a nie dzieli się przez 5

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Dudiek12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 1 lip 2015, o 10:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gostynin
Podziękował: 2 razy

Wykaż, że jeśli liczba a nie dzieli się przez 5

Post autor: Dudiek12 »

Jest to dokładnie, zadanie z konkursu matematycznego Gamma z 2012 roku edycja finałowa a brzmi ono tak:
Wykaż, że jeśli liczba a nie dzieli sie przez \(\displaystyle{ 5}\) to liczba \(\displaystyle{ a ^{8} +3 a ^{4} -4}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 100}\)
doszedłem do tego momentu, zeby rozbic to na dwa nawiasy \(\displaystyle{ ( a^{4} +4)( a^{4} -1)}\) pozniej ten drugi nawias rozbiłem na \(\displaystyle{ ( a^{2} +1)(a-1)(a+1)}\), nastepnie, chciałem przeanalizowac 4 przypadki, pierwszy to gdy \(\displaystyle{ a=5n+1}\) gdzie \(\displaystyle{ n \in \NN}\), drugi gdy \(\displaystyle{ a=5n+2}\) itd wszedzie \(\displaystyle{ n \in \NN}\). ale wychodzą mi totalne głupoty mianowicie wiem tylko tyle, ze ta liczba jest na pewno podzielna przez \(\displaystyle{ 25}\) ale nie przez \(\displaystyle{ 100}\), ktos moze widzi bląd albo ma jakis inny pomysl?
Ostatnio zmieniony 30 sie 2016, o 15:56 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Wykaż, że jeśli liczba a nie dzieli się przez 5

Post autor: kerajs »

To może osobno wykaż że \(\displaystyle{ a^8+3a^4-4}\) jest podzielne przez 4 dla dowolnej liczby naturalnej (najłatwiej osobno dla nieparzystych i parzystych a) . Razem z udowodnioną już podzielnością przez 25 da to poszukiwaną podzielność przez 100.

Ps
Nikt nie może ocenić tego, czego tu nie napisałeś.
ODPOWIEDZ