n-ta potęga

[pilur]

Mam pytanie, czy z poniższego równania na liczbach naturalnych:
\(\displaystyle{ a^{2}-1=b^{n}-3}\)
wynika, że jedyne rozwiązanie to:
b=n=3
ponieważ działa tu małe twierdzenie Fermata?:
\(\displaystyle{ a^{p-1} -1\equiv a^{p}-a\left( mod p\right)}\)

[Premislav]

Nie, rozpatrz \(\displaystyle{ b=11, n=1, a=3}\).
Warto przy tym zaznaczyć, że twierdzenie odwrotne do małego twierdzenia Fermata nie jest prawdziwe.
[choć nie do kończ rozumiem, jak przebiegało Twoje rozumowanie]

[pilur]

Przepraszam, że nie napisałem, że n>2.
Przyswajam kongruencję. I małe twierdzenie Fermata jest ikoną. Wiem, że dla a parzystego nie ma rozwiązań ponieważ:
\(\displaystyle{ a^{2}+2=2(2 \prod_{i=1}^{k} p^{ 2\alpha _{i} } _{i}+1)}\)
Czyli \(\displaystyle{ b^{n}}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 2^{n}}\)
Oczywiście dla:
\(\displaystyle{ a^{4}-1=b^{n}-5}\) to nie zachodzi,że:
\(\displaystyle{ b=n=5}\)
ale zachodzi dla \(\displaystyle{ 5^{2}+2= 3^{3}}\)
Więc moje pytanie, skoro zachodzi, czy to jedyne rozwiązanie dla równania \(\displaystyle{ a^{2}+2= b^{n}}\)?
Zanim przebrnę przez prawo wzajemności reszt kwadratowych to trochę to potrwa a ten przykład pomoże mi moż zrozumieć trochę szybciej te zależności.

-- 28 sie 2016, o 22:20 --

Jeśli możesz to powiedz mi, czy prawo wzajemności reszt kwadratowych, jeśli je poprawnie zrozumiem da mi odpowiedź. Rozpisałem n-tą potęgę na:
\(\displaystyle{ (4k+3)^n}\) i wychodzi na to, że to jedyne rozwiązanie. Ale czy ma ono coś wspólnego z małym twierdzeniem Fermata?

Póki co bazując na tym trochę się pobawiłem FLT:

[Premislav]

*nie do końca, nie żadne nie do kończ [tak miało być w moim poprzednim poście]
Zgadza się, dla \(\displaystyle{ a}\) parzystego i \(\displaystyle{ n>2}\) nie ma rozwiązań, co w sposób trywialny wynika z rozważenia reszt z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\).

Niestety co do tego:

Oczywiście dla:
\(\displaystyle{ a^{4}-1=b^{n}-5}\) to nie zachodzi.
ale zachodzi dla \(\displaystyle{ 5^{2}= 3^{3}}\)
Więc moje pytanie, skoro zachodzi, czy to jedyne rozwiązanie.

to kompletnie nie rozumiem, co masz na myśli (może za dużo zjadłem na podwójny obiad z podwójnym deserem, a może po prostu głupi jestem). Nie widzę, w jaki sposób próbujesz wnioskować, że to jedyne rozwiązanie.

Potrafię pokazać, że \(\displaystyle{ n}\) musi być nieparzyste, \(\displaystyle{ a}\) musi być nieparzyste, a także iż musi być \(\displaystyle{ b\equiv 3\pmod{8}}\), ale nic więcej istotnego niestety nie uzyskałem.
Wolfram pokazuje, że Twoje rozwiązanie jest jedyne (chyba że ja go niewłaściwie poinstruowałem), natomiast nie umiem tego udowodnić i tym bardziej nie rozumiem Twojego uzasadnienia.-- 28 sie 2016, o 23:42 --Prawo wzajemności reszt kwadratowych nie było mi znane, więc niestety w tej sprawie nie pomogę.

[pilur]

Ok. Dzięki. Uogólniłem \(\displaystyle{ s^{2}+2}\) do \(\displaystyle{ s^{2}+2 m^{2}}\)-- 30 sie 2016, o 19:12 --Teraz to raczej udało się udowodnić, że jedyne rozwiązanie to:
\(\displaystyle{ c^{n}= 3^{3}}\)