Suma i podzielność
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Suma i podzielność
Znaleźć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n>1}\), dla których liczba \(\displaystyle{ 1^{n}+2^{n}+...+(n-1)^{n}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ n}\).
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Suma i podzielność
1)
Na pewno będą to wszystkie nieparzyste bo reszta:
\(\displaystyle{ (n-k)^n \pmod{n}=(-k)^n \pmod{n}=-(k^n \pmod{n})}\)
zredukuje się z resztą \(\displaystyle{ k^n \pmod{n}}\), a składników sumy jest parzysta liczba.
2)
Nie będą to parzyste postaci \(\displaystyle{ n=4k+2}\) bo suma zawiera nieparzystą ilość składników nieparzystych więc jest nieparzysta, ergo: jest niepodzielna przez liczbę parzystą.
3)
Parzyste o postaci \(\displaystyle{ n=4k}\).
\(\displaystyle{ \left[ 1 ^{4k}+...+(2k-1) ^{4k}+(2k) ^{4k}+(2k+1) ^{4k}+...+(4k-1) ^{4k}\right] \pmod{4k}=\\ \left[ 1 ^{4k}+...+(2k-1) ^{4k}+(2k) ^{4k}+(-(2k-1)) ^{4k}+...+(-1) ^{4k}\right] \pmod{4k}=....}\)
ze względu na parzystość potęg znikają minusy w prawych resztach
\(\displaystyle{ ....= \left[ 1 ^{4k}+...+(2k-1) ^{4k}+(2k) ^{4k}+(2k-1) ^{4k}+...+(1) ^{4k}\right] \pmod{4k}=\\= \left[ 2\left( 1 ^{4k}+...+(2k-1) ^{4k}\right) +(2k) ^{4k}\right] \pmod{4k}=\\=
2\left( 1 ^{4k}+...+(2k-1) ^{4k}\right) \pmod{4k}+(2k) ^{4k} \pmod{4k}=\\=\left( 1 ^{4k}+...+(2k-1) ^{4k}\right) \pmod{2k}+0}\)
Suma w nawiasie ostatniej linijki zawiera nieparzystą ilość składników nieparzystych więc jest nieparzysta, czyli niepodzielna przez liczbę parzystą 2k.
Summa summarum, rozwiązaniem są nieparzyste liczby naturalne.
Na pewno będą to wszystkie nieparzyste bo reszta:
\(\displaystyle{ (n-k)^n \pmod{n}=(-k)^n \pmod{n}=-(k^n \pmod{n})}\)
zredukuje się z resztą \(\displaystyle{ k^n \pmod{n}}\), a składników sumy jest parzysta liczba.
2)
Nie będą to parzyste postaci \(\displaystyle{ n=4k+2}\) bo suma zawiera nieparzystą ilość składników nieparzystych więc jest nieparzysta, ergo: jest niepodzielna przez liczbę parzystą.
3)
Parzyste o postaci \(\displaystyle{ n=4k}\).
\(\displaystyle{ \left[ 1 ^{4k}+...+(2k-1) ^{4k}+(2k) ^{4k}+(2k+1) ^{4k}+...+(4k-1) ^{4k}\right] \pmod{4k}=\\ \left[ 1 ^{4k}+...+(2k-1) ^{4k}+(2k) ^{4k}+(-(2k-1)) ^{4k}+...+(-1) ^{4k}\right] \pmod{4k}=....}\)
ze względu na parzystość potęg znikają minusy w prawych resztach
\(\displaystyle{ ....= \left[ 1 ^{4k}+...+(2k-1) ^{4k}+(2k) ^{4k}+(2k-1) ^{4k}+...+(1) ^{4k}\right] \pmod{4k}=\\= \left[ 2\left( 1 ^{4k}+...+(2k-1) ^{4k}\right) +(2k) ^{4k}\right] \pmod{4k}=\\=
2\left( 1 ^{4k}+...+(2k-1) ^{4k}\right) \pmod{4k}+(2k) ^{4k} \pmod{4k}=\\=\left( 1 ^{4k}+...+(2k-1) ^{4k}\right) \pmod{2k}+0}\)
Suma w nawiasie ostatniej linijki zawiera nieparzystą ilość składników nieparzystych więc jest nieparzysta, czyli niepodzielna przez liczbę parzystą 2k.
Summa summarum, rozwiązaniem są nieparzyste liczby naturalne.
Ostatnio zmieniony 17 sie 2016, o 00:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.