Suma i podzielność

[Poszukujaca]

Znaleźć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n>1}\), dla których liczba \(\displaystyle{ 1^{n}+2^{n}+...+(n-1)^{n}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ n}\).

[kerajs]

1)
Na pewno będą to wszystkie nieparzyste bo reszta:
\(\displaystyle{ (n-k)^n \pmod{n}=(-k)^n \pmod{n}=-(k^n \pmod{n})}\)
zredukuje się z resztą \(\displaystyle{ k^n \pmod{n}}\), a składników sumy jest parzysta liczba.

2)
Nie będą to parzyste postaci \(\displaystyle{ n=4k+2}\) bo suma zawiera nieparzystą ilość składników nieparzystych więc jest nieparzysta, ergo: jest niepodzielna przez liczbę parzystą.

3)
Parzyste o postaci \(\displaystyle{ n=4k}\).
\(\displaystyle{ \left[ 1 ^{4k}+...+(2k-1) ^{4k}+(2k) ^{4k}+(2k+1) ^{4k}+...+(4k-1) ^{4k}\right] \pmod{4k}=\\ \left[ 1 ^{4k}+...+(2k-1) ^{4k}+(2k) ^{4k}+(-(2k-1)) ^{4k}+...+(-1) ^{4k}\right] \pmod{4k}=....}\)
ze względu na parzystość potęg znikają minusy w prawych resztach
\(\displaystyle{ ....= \left[ 1 ^{4k}+...+(2k-1) ^{4k}+(2k) ^{4k}+(2k-1) ^{4k}+...+(1) ^{4k}\right] \pmod{4k}=\\= \left[ 2\left( 1 ^{4k}+...+(2k-1) ^{4k}\right) +(2k) ^{4k}\right] \pmod{4k}=\\=
2\left( 1 ^{4k}+...+(2k-1) ^{4k}\right) \pmod{4k}+(2k) ^{4k} \pmod{4k}=\\=\left( 1 ^{4k}+...+(2k-1) ^{4k}\right) \pmod{2k}+0}\)
Suma w nawiasie ostatniej linijki zawiera nieparzystą ilość składników nieparzystych więc jest nieparzysta, czyli niepodzielna przez liczbę parzystą 2k.


Summa summarum, rozwiązaniem są nieparzyste liczby naturalne.