Równanie \(\displaystyle{ \cos (x)=-x/ \pi}\)
Na odcinku \(\displaystyle{ 3 \pi /4, 5 \pi /4}\)rozwiązujemy metodą iteracyjną Newtona. Oszacuj błąd bezwzględny i względny tej metody przy założeniu, że \(\displaystyle{ x_0}\) nie jest równe \(\displaystyle{ \pi}\). Odpowiedz uzasadnia.
Zacząłem rozwiązywać, mam coś takiego:
\(\displaystyle{ \cos (x)=-x/ \pi\\
f(x)=\cos x+x/ \pi \\
{}[3 \pi /4, 5 \pi /4] \\
x_{n+1}= x_{n} - \frac{f(x)}{f'(x)}}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x}{ \pi }+\cos x \\
f'(x)= \frac{1}{ \pi }-\sin x \\
x_{n+1}= x_{n} - \frac{ \frac{x _{} n}{ \pi }+\cos x}{ \frac{1}{ \pi }-\sin x}}\)
dalej znalazłem pierwiastki przez wolpfram
i dalej pytanie, \(\displaystyle{ -1.18428}\) odpowiedź?
Metoda Newtona lub metodą stycznych
-
vvv67
Metoda Newtona lub metodą stycznych
Ostatnio zmieniony 15 sie 2016, o 23:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Metoda Newtona lub metodą stycznych
Pierwiastek można zgadnąć. To Pi.
W zadanym przedziale funkcja nie spełnia warunku o stałym znaku pochodnej więc iteracja nie jest zbieżna.
I chyba przypadkowo trafia we wcześniejsze miejsce zerowe które podajesz.
W zadanym przedziale funkcja nie spełnia warunku o stałym znaku pochodnej więc iteracja nie jest zbieżna.
I chyba przypadkowo trafia we wcześniejsze miejsce zerowe które podajesz.
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Metoda Newtona lub metodą stycznych
Wartości na końcach przedziału też nie mają rożnych znaków. Jeśli nikt nic nie pomylił w treści zadania to nie ma szans na numeryczne wyznaczenie \(\displaystyle{ x_1= \pi}\).
W zadanym przedziale jest jeszcze jedno miejsce zerowe \(\displaystyle{ x_2 \approx 2,4813}\). Minimum funkcji między tymi miejscami zerowymi jest w \(\displaystyle{ x \approx 2,81765}\).-- 19 sie 2016, o 19:51 --Równanie \(\displaystyle{ \cos x= \frac{-x}{ \pi }}\) na odcinku \(\displaystyle{ \left\langle \frac{3 \pi }{4} ; \frac{5 \pi }{4} \right\rangle}\) rozwiązujemy metoda Newtona. Wypisz wzory metody Newtona dla tego równania. ....
Aby stosować metoda stycznych muszą być spełnione następujące założenia dla funkcji f:
1) W zadanym przedziale znajduje się dokładnie jeden pierwiastek.
2) Funkcja ma różne znaki na krańcach przedziału.
3) Pierwsza i druga pochodna funkcji mają stały znak w tym przedziale.
Startujemy z jednego z końców przedziału, a kolejne przybliżenia są dane wzorem rekurencyjnym:
\(\displaystyle{ x_{{k+1}}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f^{\prime }(x_{k})}}}\)
Przyjmuję że:
\(\displaystyle{ f(x)= \cos x+ \frac{x}{ \pi }}\)
i liczę wartości na końcach zadanego przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 2,35619;3,92699\right\rangle}\):
\(\displaystyle{ f(\frac{3 \pi }{4})= \cos \frac{3 \pi }{4}+ \frac{\frac{3 \pi }{4}}{ \pi }=\frac{3 }{4} \\
f(\frac{5 \pi }{4})= \cos \frac{5 \pi }{4}+ \frac{\frac{5 \pi }{4}}{ \pi }=\frac{5 }{4}}\)
Nie jest spełniony warunek 2) więc albo stwierdzamy niemożność numerycznego rozwiązania na zadanym przedziale lub sami próbujemy znaleźć odpowiedni w nim się mieszczący przedział.
Szukam ekstremum w zadanym przedziale co sprowadza się do rozwiązania równania
\(\displaystyle{ f'(x)=0\\
-\sin x+ \frac{1}{ \pi }=0\\
sin x= \frac{1}{ \pi }}\)
\(\displaystyle{ x_e=2,81765}\)
\(\displaystyle{ f(2,81765)=-1,84487}\)
Ponieważ poprzedni (0,323946) jak i następny (6,60713) argument ekstremum nie mieści się w pierwotnym przedziale, a f(x) jest ciągła, to w przedziałach \(\displaystyle{ \left\langle \frac{3 \pi }{4} ; x_e \right\rangle}\) i \(\displaystyle{ \left\langle x_e ; \frac{5 \pi }{4} \right\rangle}\) spełnione są punkty 1) i 2). Punkty przegięcia są w końcach pierwotnego przedziału więc i punkt 3) jest spełniony.
Dalsza treść zadania:
.... Oszacuj błąd bezwzględny i względny tej metody przy założeniu że \(\displaystyle{ x_0}\) nie jest równe \(\displaystyle{ \pi}\)
mówi że nie możemy wystartować \(\displaystyle{ \pi}\), oraz potrzebujemy znać dokładną wartość szukanego pierwiastka. Powoduje to, że będę szukał miejsca zerowego które łatwo zgadnąć i znana jest jego wartość, czyli właśnie \(\displaystyle{ \pi}\) który należy do przedziału \(\displaystyle{ \left\langle x_e ; \frac{5 \pi }{4} \right\rangle}\). Dla mojej wygody przedział ograniczę do\(\displaystyle{ \left\langle 2,9 ; 3,9 \right\rangle}\). Za kryterium kończące iteracje przyjmę że różnica między wartością obliczoną a Pi będzie mniejsza od 0.001. Ty przyjmij kryterium stosowane na zajęciach.
\(\displaystyle{ x_{{k+1}}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f^{\prime }(x_{k})}}=
=x_k- \frac{\cos x_k+ \frac{x_k}{ \pi }}{-\sin x_k+ \frac{1}{ \pi }}\\
x_0=2,9\\
x_1=2,9-\frac{\cos 2,9+ \frac{2,9}{ \pi }}{-\sin 2,9+ \frac{1}{ \pi }}=3,50535\\
\left| 3,50535-3,141592\right| >0.001\\
x_2=3,50535-\frac{\cos 3,50535+ \frac{3,50535}{ \pi }}{-\sin 3,50535+ \frac{1}{ \pi }}=3,23652\\
\left| 3,23652-3,141592\right| >0.001\\
x_3=3,23652-\frac{\cos 3,23652+ \frac{3,23652}{ \pi }}{-\sin 3,23652+ \frac{1}{ \pi }}=3,15247\\
\left| 3,15247-3,141592\right| >0.001\\
x_4=3,15247-\frac{\cos 3,15247+ \frac{3,15247}{ \pi }}{-\sin 3,15247+ \frac{1}{ \pi }}=3,14177\\
\left| 3,14177-3,141592\right| <0.001}\)
Błąd bezwzględny:
\(\displaystyle{ \Delta x=\left| 3,14177-3,141592\right|=0,000178}\)
Błąd względny:
\(\displaystyle{ \delta = \frac{\Delta x}{\pi}= \frac{0,000178}{ \pi } =0.000056}\)
Jak dla mnie to zadanie jest mało numeryczne. Zbyt wiele samemu trzeba policzyć aby je dostosować do metody stycznych.
W zadanym przedziale jest jeszcze jedno miejsce zerowe \(\displaystyle{ x_2 \approx 2,4813}\). Minimum funkcji między tymi miejscami zerowymi jest w \(\displaystyle{ x \approx 2,81765}\).-- 19 sie 2016, o 19:51 --Równanie \(\displaystyle{ \cos x= \frac{-x}{ \pi }}\) na odcinku \(\displaystyle{ \left\langle \frac{3 \pi }{4} ; \frac{5 \pi }{4} \right\rangle}\) rozwiązujemy metoda Newtona. Wypisz wzory metody Newtona dla tego równania. ....
Aby stosować metoda stycznych muszą być spełnione następujące założenia dla funkcji f:
1) W zadanym przedziale znajduje się dokładnie jeden pierwiastek.
2) Funkcja ma różne znaki na krańcach przedziału.
3) Pierwsza i druga pochodna funkcji mają stały znak w tym przedziale.
Startujemy z jednego z końców przedziału, a kolejne przybliżenia są dane wzorem rekurencyjnym:
\(\displaystyle{ x_{{k+1}}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f^{\prime }(x_{k})}}}\)
Przyjmuję że:
\(\displaystyle{ f(x)= \cos x+ \frac{x}{ \pi }}\)
i liczę wartości na końcach zadanego przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 2,35619;3,92699\right\rangle}\):
\(\displaystyle{ f(\frac{3 \pi }{4})= \cos \frac{3 \pi }{4}+ \frac{\frac{3 \pi }{4}}{ \pi }=\frac{3 }{4} \\
f(\frac{5 \pi }{4})= \cos \frac{5 \pi }{4}+ \frac{\frac{5 \pi }{4}}{ \pi }=\frac{5 }{4}}\)
Nie jest spełniony warunek 2) więc albo stwierdzamy niemożność numerycznego rozwiązania na zadanym przedziale lub sami próbujemy znaleźć odpowiedni w nim się mieszczący przedział.
Szukam ekstremum w zadanym przedziale co sprowadza się do rozwiązania równania
\(\displaystyle{ f'(x)=0\\
-\sin x+ \frac{1}{ \pi }=0\\
sin x= \frac{1}{ \pi }}\)
\(\displaystyle{ x_e=2,81765}\)
\(\displaystyle{ f(2,81765)=-1,84487}\)
Ponieważ poprzedni (0,323946) jak i następny (6,60713) argument ekstremum nie mieści się w pierwotnym przedziale, a f(x) jest ciągła, to w przedziałach \(\displaystyle{ \left\langle \frac{3 \pi }{4} ; x_e \right\rangle}\) i \(\displaystyle{ \left\langle x_e ; \frac{5 \pi }{4} \right\rangle}\) spełnione są punkty 1) i 2). Punkty przegięcia są w końcach pierwotnego przedziału więc i punkt 3) jest spełniony.
Dalsza treść zadania:
.... Oszacuj błąd bezwzględny i względny tej metody przy założeniu że \(\displaystyle{ x_0}\) nie jest równe \(\displaystyle{ \pi}\)
mówi że nie możemy wystartować \(\displaystyle{ \pi}\), oraz potrzebujemy znać dokładną wartość szukanego pierwiastka. Powoduje to, że będę szukał miejsca zerowego które łatwo zgadnąć i znana jest jego wartość, czyli właśnie \(\displaystyle{ \pi}\) który należy do przedziału \(\displaystyle{ \left\langle x_e ; \frac{5 \pi }{4} \right\rangle}\). Dla mojej wygody przedział ograniczę do\(\displaystyle{ \left\langle 2,9 ; 3,9 \right\rangle}\). Za kryterium kończące iteracje przyjmę że różnica między wartością obliczoną a Pi będzie mniejsza od 0.001. Ty przyjmij kryterium stosowane na zajęciach.
\(\displaystyle{ x_{{k+1}}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f^{\prime }(x_{k})}}=
=x_k- \frac{\cos x_k+ \frac{x_k}{ \pi }}{-\sin x_k+ \frac{1}{ \pi }}\\
x_0=2,9\\
x_1=2,9-\frac{\cos 2,9+ \frac{2,9}{ \pi }}{-\sin 2,9+ \frac{1}{ \pi }}=3,50535\\
\left| 3,50535-3,141592\right| >0.001\\
x_2=3,50535-\frac{\cos 3,50535+ \frac{3,50535}{ \pi }}{-\sin 3,50535+ \frac{1}{ \pi }}=3,23652\\
\left| 3,23652-3,141592\right| >0.001\\
x_3=3,23652-\frac{\cos 3,23652+ \frac{3,23652}{ \pi }}{-\sin 3,23652+ \frac{1}{ \pi }}=3,15247\\
\left| 3,15247-3,141592\right| >0.001\\
x_4=3,15247-\frac{\cos 3,15247+ \frac{3,15247}{ \pi }}{-\sin 3,15247+ \frac{1}{ \pi }}=3,14177\\
\left| 3,14177-3,141592\right| <0.001}\)
Błąd bezwzględny:
\(\displaystyle{ \Delta x=\left| 3,14177-3,141592\right|=0,000178}\)
Błąd względny:
\(\displaystyle{ \delta = \frac{\Delta x}{\pi}= \frac{0,000178}{ \pi } =0.000056}\)
Jak dla mnie to zadanie jest mało numeryczne. Zbyt wiele samemu trzeba policzyć aby je dostosować do metody stycznych.
Ostatnio zmieniony 15 sie 2016, o 23:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.