Cztery kolejne liczby naturalne i potęgi

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 12 sie 2016, o 16:20

Dowieść, że nie istnieją cztery kolejne liczby naturalne, które byłyby potęgami liczb naturalnych o wykładnikach naturalnych większych od jeden.

matmatmm · Post autor: **matmatmm** » 12 sie 2016, o 19:14

a trzy istnieją?

Ukryta treść:

Kaf · Post autor: **Kaf** » 12 sie 2016, o 19:26

matmatmm pisze:Twierdzenie Mihăilescu

To jest raczej przykry żart, toż to (zważywszy na trudność dowodu) strzelanie do komara z armaty. Z pewnością istnieje proste rozwiązanie.

kerajs · Post autor: **kerajs** » 13 sie 2016, o 03:16

W czwórce mamy dwie liczby parzyste 2k i 2(k+1). Niezależnie od tego czy k jest parzysta czy nieparzysta jedna z tych liczb będzie w postaci \(\displaystyle{ 2^1 \cdot n}\) (gdzie n to nieparzysta) co potwierdza tezę.

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 13 sie 2016, o 10:18

kerajs, w takim razie wypadałoby jeszcze udowodnić, że nie istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b}\) \(\displaystyle{ (b>1)}\) takie, że \(\displaystyle{ 2n =a^{b}}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą nieparzystą.

Załóżmy nie wprost, że istnieją takie liczby \(\displaystyle{ a, b}\). Mamy \(\displaystyle{ 2n=2(2m+1)=4m+2}\), gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest liczbą naturalną. Widzimy, że \(\displaystyle{ a^{b}}\) jest liczbą parzystą niepodzielną przez \(\displaystyle{ 4}\), a stąd otrzymujemy już sprzeczność, ponieważ liczba będąca potęgą dowolnej liczby naturalnej, (w której rozkładzie na czynniki pierwsze występuje jeden raz czynnik \(\displaystyle{ 2}\)) ma w swoim rozkładzie na czynniki pierwsze co najmniej dwie dwójki czyli jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\).

kerajs · Post autor: **kerajs** » 13 sie 2016, o 22:47

Poszukujaca pisze:kerajs, w takim razie wypadałoby jeszcze udowodnić, że nie istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b}\) \(\displaystyle{ (b>1)}\) takie, że \(\displaystyle{ 2n =a^{b}}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą nieparzystą.

Niekoniecznie. Skoro n jest nieparzysta, to postacią ,,potęgową' 2n musi być \(\displaystyle{ (2n)^1}\).
(gdyż immanentną i jedyną cechą nieparzystości jest: niepodzielność przez 2 / brak 2 w rozkładzie na czynniki pierwsze)

Jak pewnie wiesz, lub dowiedziałaś się z sugestii matmatmm i Kaf, istnieje tylko jedna para kolejnych naturalnych o takiej własności: \(\displaystyle{ 8=2^3}\) i \(\displaystyle{ 9=3^2}\).

Ps. Ciekawe, czy istnieje inna para dwóch kolejnych nieparzystych o tej własności oprócz: \(\displaystyle{ 25=5^2}\) i \(\displaystyle{ 27=3^3}\) ?