Zera formy kwadratowej

[Santiago A]

Niech liczby \(\displaystyle{ a, b, c \in \mathbb Z}\) będą parami względnie pierwsze i bezkwadratowe. Równanie \(\displaystyle{ ax^2 + by^2 + cz^2 = 0}\) ma nietrywialne rozwiązania (wymierne), wtedy i tylko wtedy gdy:

- jeśli liczba \(\displaystyle{ abc}\) jest nieparzysta, to \(\displaystyle{ 4}\) dzieli \(\displaystyle{ a+b}\), \(\displaystyle{ b+c}\) lub \(\displaystyle{ a+c}\).
- jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest parzyste, to \(\displaystyle{ 8}\) dzieli \(\displaystyle{ b+c}\) lub \(\displaystyle{ a+b+c}\) (podobny warunek dla \(\displaystyle{ b, c}\)).
- dla każdego nieparzystego dzielnika pierwszego liczby \(\displaystyle{ a}\) istnieje \(\displaystyle{ r \in \mathbb Z}\), że \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ b + r^2c}\) (podobnie dla \(\displaystyle{ b, c}\)).

[Slup]

Jest twierdzenie Legendre'a:

[Santiago A]

Jest też reguła globalno-lokalna Hassego, która sprowadza powyższy problem do ciał \(\displaystyle{ \mathbb Q_p}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb R}\). Co ciekawe, już powyższe trzy ograniczenia pociągają różność znaków \(\displaystyle{ a, b, c}\).

[Kartezjusz]

Wystarczy jedno z tych trzech ograniczeń?

[Santiago A]

Nie, potrzebne są wszystkie trzy, choć nadal jest to trochę niespodziewane.

[Kartezjusz]

Pierwsze i drugie ograniczenie są sprzeczne.

[Dualny91]

Pierwsze i drugie ograniczenie są sprzeczne.

Co powiesz o \(\displaystyle{ a:=3,b:=5,c:=7}\)?

[Santiago A]

Dużo prostszy przykład to \(\displaystyle{ a = b = -c = 1}\), wtedy \(\displaystyle{ x = 3}\), \(\displaystyle{ y = 4}\), \(\displaystyle{ z = 5}\) jest świadkiem