Dowód z liczbami pierwszymi i podzielnością

[Poszukujaca]

Analizuję pewne zadanie z rozwiązaniem podanym w książce.

Dowieść, że dla każdej liczby pierwszej nieparzystej \(\displaystyle{ p}\) istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\), dla których \(\displaystyle{ p | n \cdot 2^{n}+1}\).

Rozwiązanie:
Jeżeli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą i \(\displaystyle{ n=(p-1)(kp+1)}\), gdzie \(\displaystyle{ k =0,1,2,...,}\) to \(\displaystyle{ n \equiv -1 \ (mod \ p)}\) oraz \(\displaystyle{ p-1 | n}\), skąd w myśl twierdzenia Fermata \(\displaystyle{ 2^{n} \equiv 1 \ (mod \ p)}\), zatem \(\displaystyle{ n \cdot 2^{n}+1 \equiv 0}\).

Nie rozumiem dlaczego zakładamy, że \(\displaystyle{ n = (p-1)(1+kn)}\) i dlaczego z twierdzenia Fermata wynika, że \(\displaystyle{ 2^{n} \equiv 1 \ (mod \ p)}\), skoro powinno być raczej \(\displaystyle{ 2^{p-1} \equiv 1 \ (mod \ p)}\).

Bardzo proszę o pomoc w wyjaśnieniu tych kwestii.

[Kaf]

Nie rozumiem dlaczego zakładamy, że \(\displaystyle{ n = (p-1)(1+kp)}\)

Pokazujemy, że dla takich \(\displaystyle{ n}\) to działa, a ponieważ jest ich nieskończenie wiele, to mamy tezę. Nie przyzwyczaiłaś się jeszcze, że tak się często robi w matematyce?

i dlaczego z twierdzenia Fermata wynika, że \(\displaystyle{ 2^{n} \equiv 1 \ (mod \ p)}\), skoro powinno być raczej \(\displaystyle{ 2^{p-1} \equiv 1 \ (mod \ p)}\).

\(\displaystyle{ 2^{n} \equiv \left( 2^{p-1}\right)^{1+kp}\equiv ...}\)

[Poszukujaca]

Oczywiście, powinnam się była już przyzwyczaić do takich na pierwszy rzut oka założeń z kosmosu

[a4karo]

Oczywiście, powinnam się była już przyzwyczaić do takich na pierwszy rzut oka założeń z kosmosu

To nie sa rzeczy z kosmosu. Takie pomysły powstają wielokrotnie po godzinach, dniach, tygodniach przeróżnych prób, a czasem przypadkiem, przy pracy nad zupełnie innymi zagadnieniami. A jak już coś wyjdzie, to się coś takiego publikuje, i wtedy to rzeczywiście wygląda jak z kosmosu. Niestety, nikt nie publikuje całego procesu dochodzenia do wyniku.