Dowód - liczby względnie pierwsze

[Morfeo]

Mamy trzy liczby \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\).

Zachodzi dla nich \(\displaystyle{ gcd(a, b) = 1}\) i \(\displaystyle{ gcd(a, c) = 1}\) oraz \(\displaystyle{ gcd(b, c) = 1}\) (tj. są parami względnie pierwsze).

Należy udowodnić, że istnieje nieskończona ilość liczb \(\displaystyle{ k}\) takich, że \(\displaystyle{ gcd(a, k) = 1}\) i \(\displaystyle{ gcd(b, k) = 1}\) oraz \(\displaystyle{ gcd(c, k) = 1}\) (tj. \(\displaystyle{ a, b, c}\) są względnie pierwsze z \(\displaystyle{ k}\)).

Założenie wydaje mi się oczywiste ale mógłby ktoś spróbować to udowodnić?
Dobrze byłoby gdyby udało się udowodnić także, że istnieje nieskończenie wiele \(\displaystyle{ k}\) niebędących liczbą pierwszą.

Nie jestem pewny czy dobry dział

[mol_ksiazkowy]

no np. \(\displaystyle{ k=nabc+1}\) gdy \(\displaystyle{ n=1, 2, 3 ,...}\)

[Morfeo]

no np. \(\displaystyle{ k=nabc+1}\) gdy \(\displaystyle{ n=1, 2, 3 ,...}\)

Dzięki. To jednak chyba tylko odpowiedź na pierwsze pytanie.
A dowód na to, że istnieje nieskończenie wiele \(\displaystyle{ k}\) niebędących liczbą pierwszą?

[Kaf]

Weźmy dowolną liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p}\) niedzielącą \(\displaystyle{ abc}\). Wtedy istnieje \(\displaystyle{ k}\) takie, że \(\displaystyle{ kabc\equiv -1 \pmod p}\). Wtedy wszystkie liczby postaci \(\displaystyle{ (p+1)^nkabc+1}\) spełniają Twoje warunki.

[Morfeo]

Wybacz pytanie ale skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ (p+1)^nkabc+1}\) nie jest pierwsze?

[Geftus]

Wynika to stąd, że ta liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ p}\) (na mocy założeń) i jest od niej mniejsza.