Trójkąty i siódemka

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ x, y , z}\) bedą bokami trójkąta pitagorejskiego takiego , że \(\displaystyle{ x+7 =z}\);

i) czy taki trójkąt istnieje ? czy jest ich nieskończona ilość ?
ii) czy \(\displaystyle{ x}\) może być nieparzyste ?
iii) czy może być \(\displaystyle{ y >x}\)?

Odpowiedzi uzasadnić.

[Santiago A]

Tak, \(\displaystyle{ (x, y, z) = (5, 13, 12)}\) (trójkąt istnieje, \(\displaystyle{ x}\) nieparzyste, \(\displaystyle{ y > x}\)). Czy istnieją inne trójkąty? Wiemy, że \(\displaystyle{ z > x}\), zatem albo \(\displaystyle{ z}\), albo \(\displaystyle{ y}\) jest przeciwprostokątną.

Niech \(\displaystyle{ z}\) będzie przeciwprostokątną. Wtedy \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = (x+7)^2}\) i \(\displaystyle{ y^2 = 14x + 49 = 7(2x+7)}\), a stąd \(\displaystyle{ y = 7t}\), \(\displaystyle{ 2x = 7(t^2-1)}\), \(\displaystyle{ t}\) nieparzyste (nieskończenie wiele trójkątów).