Zasada nieskończonego schodzenia(ang. infinite descent)

[dwukwiat15]

Witam, próbuję zrozumieć dowód odkrytego przez Fermata twierdzenia o liczbach pierwszych, które formułuje się jako:
Każdą nieparzystą liczbę \(\displaystyle{ p}\) postaci \(\displaystyle{ 4k + 1}\), gdzie \(\displaystyle{ k > 0}\) można zapisać jako sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych. Czyli przykładowo:

\(\displaystyle{ 13 = 4 \cdot 3 + 1 = 3^{2} + 2^{2}}\)

Teraz tak jak w temacie udowadnia się to za pomocą zasady nieskończonego schodzenia(ang. inifinite descent), którą wymyślił sam Fermat. Aby to udowodnić bierzemy sobie jakąś liczbę postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) i zakładamy, że nie jest ona sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.
Formalnie bym to zapisał jako, że z faktu, że pewna liczba postaci :

\(\displaystyle{ 4k \cdot k+1 \neq a^{2} + b ^2}\)

ma wynikać, że liczba od niej mniejsza o tej samej postaci, czyli:

\(\displaystyle{ 4(k-1) + 1 \neq c^{2} + d^{2}}\)

i tak dalej aż do najmniejszej liczby pierwszej \(\displaystyle{ 5 = 4 \cdot 1 + 1 = 2^{2} + 1^{2}}\), stąd sprzeczność. Intryguje mnie tutaj to schodzenie w dół, jak powiązać to wynikanie sprzecznośći tak, aby było widać, że z większej liczby wynika jasno sprzeczność mniejszej?
Byłbym wdzięczny za wyjaśnienie. Pozdrawiam

[Santiago A]

Twój zapis pozostawia trochę do życzenia, gdyż zmienne \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) nie są niczym związane. Poza tym skąd wiesz, że druga liczba ma być akurat taka? Dlaczego nie \(\displaystyle{ 4(k-163) + 1}\)?

Dowód faktu, że każda liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) postaci \(\displaystyle{ 4k + 1}\) jest sumą dwóch kwadratów można przeprowadzić tak. Liczby \(\displaystyle{ 1, 2^{4n}, 3^{4n}, \ldots, (4n)^{4n}}\) przystają do jedynki modulo \(\displaystyle{ p}\) na mocy małego twierdzenia Fermata, więc różnice dwóch kolejnych są podzielne przez \(\displaystyle{ p}\). Każdą z różnic możemy rozłożyć:

\(\displaystyle{ a^{4n} - b^{4n} = (a^{2n} + b^{2n})(a^{2n} - b^{2n})}\).

Z definicji pierwszości, \(\displaystyle{ p}\) musi dzielić jeden z czynników. Gdyby choć raz tym podzielnym czynnikiem było \(\displaystyle{ a^{2n} + b^{2n}}\), \(\displaystyle{ p}\) dałoby się zapisać jako sumę dwóch kwadratów (ze względu na Lemat A). Wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ p}\) nie zawsze dzieli drugi czynnik. Załóżmy więc nie wprost, że tak jednak jest. Wtedy \(\displaystyle{ p}\) dzieliłoby także różnice co drugich wyrazów (\(\displaystyle{ 3^{2n} - 2^{2n} + 2^{2n} - 1 = 3^{2n} - 1}\)), co trzecich, co czwartych i tak dalej.

"Skończone \(\displaystyle{ k}\)-te różnice" ciągu \(\displaystyle{ a_n = n^k}\) są równe \(\displaystyle{ k!}\), zatem \(\displaystyle{ 2n}\)-te wynoszą \(\displaystyle{ (2n)!}\) i nie dzielą się przez \(\displaystyle{ p}\). Sprzeczność.

Lemat A. Jeśli \(\displaystyle{ a, b}\) są względnie pierwsze, to każdy dzielnik \(\displaystyle{ a^2 + b^2}\) jest sumą dwóch kwadratów.

[dwukwiat15]

OK, może zapis nie jest do końca formalny. Nie odpowiedziałeś jednak na moje pytanie. Chciałem wiedzieć jak udowodnić to twierdzenie za pomocą zasady nieskończonego schodzenia(ang. infinite descent). Opis zasady można znaleźć na przykład tutaj:

[Santiago A]

Nie mam pojęcia, o jakim nieskończonym zejściu mowa jest w tym artykule, ale wiem, że w dowodzie Eulera z 1749 roku ta zasada pojawia się właśnie w dowodzie lematu A.

Niech \(\displaystyle{ x}\) dzieli \(\displaystyle{ a^2 + b^2}\), wtedy \(\displaystyle{ a = mx \pm c}\), \(\displaystyle{ b = nx \pm d}\), gdzie \(\displaystyle{ c, d}\) nie przekraczają połowy \(\displaystyle{ x}\) (co do wartości bezwzględnej). Proste rachunki pokazują, że \(\displaystyle{ a^2 + b^2 = Ax + c^2 + d^2}\), zatem \(\displaystyle{ c^2 + d^2 = yx}\) dla pewnego \(\displaystyle{ y}\). Jeśli \(\displaystyle{ c, d}\) nie są względnie pierwsze, to ich NWD i \(\displaystyle{ x}\) nie mają wspólnych dzielników (gdyż \(\displaystyle{ a, b}\) są względnie pierwsze).

Wynika stąd, że kwadrat NWD dzieli \(\displaystyle{ y}\) (gdyż dzieli \(\displaystyle{ c^2 + d^2}\)), co pozwala na zapisanie \(\displaystyle{ e^2 + f^2 = xz}\) dla względnie pierwszych \(\displaystyle{ e, f}\), przy czym \(\displaystyle{ 2z}\) nie przekracza \(\displaystyle{ x}\), gdyż

\(\displaystyle{ zx = e^2 + f^2 \le c^2 + d^2 = \frac {x^2}4 + \frac {x^2}4 = \frac {x^2}2}\).

Jeśli \(\displaystyle{ c, d}\) są względnie pierwsze, możemy ich użyć jako \(\displaystyle{ e}\) i \(\displaystyle{ f}\). Gdyby \(\displaystyle{ x}\) nie było sumą kwadratów, to \(\displaystyle{ z}\) miałoby dzielnik \(\displaystyle{ w}\), który też nią nie jest (patrz lemat B). Tu właśnie nieskończenie schodzimy: z \(\displaystyle{ x}\) do mniejszej liczby \(\displaystyle{ w}\).

Lemat B. Iloraz sumy dwóch kwadratów przez liczbę, która nie jest sumą dwóch kwadratów posiada dzielnik, który nie jest sumą kwadratów.

[a4karo]

Zadaj sobie takie pytanie :
Czy można stworzyć ściśle malejacy ciąg liczb naturalnych?