Układ kongruencji

[PAK]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x\equiv 5(mod 7)\\x\equiv 1(mod 4)\end{cases}}\)

Próbowałem to tak rozwiązać :
Z pierwszego równania mamy że \(\displaystyle{ x = 7k + 5, k\in \ZZ}\)
Z drugiego \(\displaystyle{ x = 4l + 1, l\in \ZZ}\)
Porównując otrzymujemy
\(\displaystyle{ k = \frac{4l - 4}{7}}\)
Czyli \(\displaystyle{ x = 4l + 1}\)

Jednak na logikę, skoro x jest podzielne i przez 7 i przez 4 to powinno być podzielne przez 28.I trzeba tak dobrać resztę żeby przy dzieleniu przez 7 dawała 5, a przez 4 dawała 1.Więc chyba powinno być ostatecznie : \(\displaystyle{ x = 28l + 5}\).

[Premislav]

Więc chyba powinno być ostatecznie : \(\displaystyle{ x = 28l + 5}\).

To jest poprawny wynik (tylko opis rozwiązania nie za dobry), natomiast nie rozumiem, skąd wziąłeś ten poprzedni.
Skoro uzyskałeś \(\displaystyle{ k = \frac{4l - 4}{7}}\), to ponieważ \(\displaystyle{ k}\) jest całkowite,
zatem dostajesz \(\displaystyle{ 4l-4\equiv 0 \pmod{7}}\), więc \(\displaystyle{ 4l\equiv 4\pmod{7}}\), a stąd po znalezieniu elementu odwrotnego do \(\displaystyle{ 4}\) w \(\displaystyle{ \ZZ_7}\) mamy:
\(\displaystyle{ l\equiv 1\pmod{7}}\), czyli \(\displaystyle{ l=7m+1, m \in \ZZ}\)
Zatem \(\displaystyle{ x=4l+1=4(7m+1)+1=28m+5, m \in \ZZ}\), czyli inaczej \(\displaystyle{ x\equiv 5\pmod{28}}\)

[PAK]

natomiast nie rozumiem, skąd wziąłeś ten poprzedni.

\(\displaystyle{ x = 7k + 5 = 7 \cdot \frac{4l - 4}{7} +5 = 4l + 1}\)

[Premislav]

To nie ma sensu.-- 13 lip 2016, o 15:48 --Równie dobrze "pokażę", że rozwiązanie jest postaci
\(\displaystyle{ 7k+5}\) dla \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\).
\(\displaystyle{ x=4l+1=4 \frac{7k+4}{4}+1=7k+5}\). Tymczasem dla \(\displaystyle{ k=1}\) się nie zgadza.

Ty masz wykorzystać obie informacje. To jak układ równań.

[Kaf]

więc \(\displaystyle{ 4l\equiv 4\pmod{7}}\), a stąd po znalezieniu elementu odwrotnego do \(\displaystyle{ 4}\) w \(\displaystyle{ \ZZ_7}\) mamy:
\(\displaystyle{ l\equiv 1\pmod{7}}\)

Mała uwaga: wcale nie potrzeba znajdywać elementu odwrotnego do \(\displaystyle{ 4}\) w \(\displaystyle{ \ZZ _7}\), wystarczy wiedza, że taki istnieje.

[Premislav]

Ups, jasne, nawet nie zauważyłem, że po prawej stronie tez jest \(\displaystyle{ 4}\).

[PAK]

To nie ma sensu.

-- 13 lip 2016, o 15:48 --

Równie dobrze "pokażę", że rozwiązanie jest postaci
\(\displaystyle{ 7k+5}\) dla \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\).
\(\displaystyle{ x=4l+1=4 \frac{7k+4}{4}+1=7k+5}\). Tymczasem dla \(\displaystyle{ k=1}\) się nie zgadza.

Ty masz wykorzystać obie informacje. To jak układ równań.

No więc dlaczego nie ma sensu ? Przecież teoretycznie wykorzystałem informację z obu równań.Nie widzę gdzie jest błąd.

[Premislav]

Nieprawda, tylko pozornie wykorzystałeś obie informacje. Tak naprawdę w tym "rozwiązaniu" wcale nie korzystasz z tego, że musi być \(\displaystyle{ x=7k+5}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\).

Przecież widać, że \(\displaystyle{ x=7k+5}\) to pewna dodatkowa informacja w stosunku do samego \(\displaystyle{ x=4l+1}\), wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ 7k+5}\) nie musi dawać reszty \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\).

A gdybyś rozwiązywał "normalny" układ równań, to jakby wyglądało zastosowanie metody podstawiania? Tutaj tak samo.