Czy istnieją \(\displaystyle{ u, v \in Q}\) oraz \(\displaystyle{ u \neq 2}\) i \(\displaystyle{ u \neq -1}\) takie że \(\displaystyle{ \frac{u^3-8}{u} = v^2}\) ?
Podam pełne rozwiązanie podobnego(do pewnego stopnie łatwiejszego) zadania oraz wyjaśnię w jaki sposób można rozwiązać zadany problem i dlaczego jest on trudniejszy. Znajdziemy wszystkie pary liczb wymiernych \(\displaystyle{ z,y\in \mathbb{Q}}\) takie, że: \(\displaystyle{ 8-z^3=zy^2}\)
Ukryta treść:
Najpierw muszę podać kilka informacji na temat punktów \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)-wymiernych na płaszczyźnie rzutowej. Zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{P}^2_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q})}\) składa się z klas równoważności trójek punktów: \(\displaystyle{ (x,y,z)\in \mathbb{Q}^3}\)
takich, że co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ x,y,z}\) jest różna od zera. Dwie takie trójki \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) i \(\displaystyle{ (x',y',z')}\) są równoważne jeżeli istnieje \(\displaystyle{ t\in \mathbb{Q}\setminus \{0\}}\) taka, że: \(\displaystyle{ x=tx',y=ty',z=tz'}\)
Klasę równoważności trójki \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) oznaczamy przez: \(\displaystyle{ [x,y,z]}\)
Teraz definiujemy zbiory: \(\displaystyle{ U_x=\{[x,y,z]\in \mathbb{P}^2_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q})\mid x\neq 0\}}\), \(\displaystyle{ U_y=\{[x,y,z]\in \mathbb{P}^2_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q})\mid y\neq 0\}}\), \(\displaystyle{ U_z=\{[x,y,z]\in \mathbb{P}^2_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q})\mid z\neq 0\}}\)
Mamy bijekcję: \(\displaystyle{ \mathbb{Q}^2\ni (y,z)\mapsto [1,y,z]\in U_x}\)
i tak samo mamy bijekcje: \(\displaystyle{ \mathbb{Q}^2\ni (x,z)\mapsto [x,1,z]\in U_y}\), \(\displaystyle{ \mathbb{Q}^2\ni (x,y)\mapsto [x,y,1]\in U_z}\)
To teraz rozważmy pewną krzywą eliptyczną \(\displaystyle{ C}\) jest to zbiór punktów \(\displaystyle{ [x,y,z]\in \mathbb{P}^2_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q})}\): \(\displaystyle{ 8x^3-z^3=zy^2}\)
(zauważmy, że wszystko tutaj jest dobrze zdefiniowane). Dokonajmy teraz w \(\displaystyle{ \mathbb{P}^2_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q})}\) zamiany zmiennych: \(\displaystyle{ 2x\mapsto x',z\mapsto z', y\mapsto y'}\)
Krzywa \(\displaystyle{ C}\) w tych nowych zmiennych ma postać: \(\displaystyle{ x'^3-z'^3=z'y'^2}\)
To równanie jak pokażemy niżej w lemacie nie ma rozwiązań w \(\displaystyle{ \mathbb{P}^2_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q})}\) poza \(\displaystyle{ [x',y',z']=[0,1,0], [1,0,1]}\). Stąd równanie: \(\displaystyle{ 8x^3-z^3=zy^2}\)
ma tylko dwa rozwiązania \(\displaystyle{ [x,y,z]=[0,1,0],[\frac{1}{2},0,1]}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ [\frac{1}{2},0,1]=[1,0,2]}\). Nas interesują tylko te rozwiązania, które leżą w zbiorze \(\displaystyle{ U_x}\), bo przy bijekcji \(\displaystyle{ \mathbb{Q}^2\cong U_x}\) opisanej wyżej dostajemy równanie: \(\displaystyle{ 8-z^3=zy^2}\)
a o to nam chodzi. Z dwóch rozwiązań \(\displaystyle{ [x,y,z]=[0,1,0],[1,0,2]}\) jedno odrzucamy i dostajemy \(\displaystyle{ (y,z)=(0,2)}\).
To teraz udowodnimy lemat. Dowód jest do pewnego stopnia nieelementarny i wykorzystuje teorię przecięć krzywych algebraicznych. W każdym razie jest on dobrą ilustracją tego w jaki sposób współczesna geometria algebraiczna pozwala rozwiązywać problemy teorii liczb.
Ukryta treść:
Najpierw warto zaznaczyć, że wyżej zdefiniowaliśmy punkty \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)-wymierne na płaszczyźnie rzutowej czyli zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{P}^2_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q})}\). Nie zdefiniowaliśmy samej płaszczyzny rzutowej \(\displaystyle{ \mathbb{P}^2_{\mathbb{Q}}}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\). Nie będzie to jednak konieczne. Będziemy korzystali tylko z następującego faktu. Powiedzmy, że mamy w \(\displaystyle{ \mathbb{P}^2_{\mathbb{Q}}}\) krzywą algebraiczną \(\displaystyle{ D}\) zadaną jednorodnym równaniem wielomianowym: \(\displaystyle{ F(x,y,z)=0}\)
stopnia \(\displaystyle{ d}\) o współczynnikach w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\). Niech \(\displaystyle{ L}\) będzie prostą tj. krzywą zadaną równaniem algebraicznym o współczynnikach w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) i stopnia \(\displaystyle{ 1}\). Wówczas część wspólna \(\displaystyle{ D\cap L}\) może składa się z \(\displaystyle{ d}\) punktów \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)-wymiernych liczonych wraz z krotnościami. Punkt \(\displaystyle{ P}\), który jest \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)-wymierny, ma krotność \(\displaystyle{ r\in \mathbb{N}}\) w przecięciu \(\displaystyle{ D\cap L}\) wtedy i tylko wtedy, gdy prosta \(\displaystyle{ L}\) jest styczna do krzywej \(\displaystyle{ F(x,y,z)=0}\) w punkcie \(\displaystyle{ P}\) aż do rzędu \(\displaystyle{ r}\). Jest to oczywiście nieformalna definicja, ale jej sprecyzowanie zajęłoby za dużo czasu. Np. \(\displaystyle{ L}\) jest styczna rzędu \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ D}\), jeżeli \(\displaystyle{ L}\) jest sieczną \(\displaystyle{ D}\) w \(\displaystyle{ P}\); \(\displaystyle{ L}\) jest styczna rzędu \(\displaystyle{ 2}\) do \(\displaystyle{ D}\), jeżeli jest styczna do \(\displaystyle{ D}\) w \(\displaystyle{ P}\); jest styczna rzędu \(\displaystyle{ 3}\) do \(\displaystyle{ D}\), jeżeli jest styczna i zachodzi warunek zgodności drugich pochodnych jej lokalnych parametryzacji \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ L}\) itd...
Oznaczmy krzywą zadaną równaniem: \(\displaystyle{ x^3-z^3=y^2z}\)
przez \(\displaystyle{ C}\). Oczywiście punkt \(\displaystyle{ [1,0,1]}\) jest \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)-wymiernym punktem \(\displaystyle{ C}\).
Dla \(\displaystyle{ z=0}\) dostajemy: \(\displaystyle{ x^3=0}\)
czyli \(\displaystyle{ x=0}\) i stąd dostajemy punkt \(\displaystyle{ [0,1,0]}\) krzywej \(\displaystyle{ C}\). Wszystkie pozostałe punkty \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)-wymierne tej krzywej leżą poza prostą \(\displaystyle{ z=0}\).
Rozpatrzmy pęk prostych \(\displaystyle{ \{L_t\}_{t\in \mathbb{Q}}}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\), które przechodzą przez punkt \(\displaystyle{ [1,0,1]}\): \(\displaystyle{ y=t(x-z)}\)
dla \(\displaystyle{ t\in \mathbb{Q}}\). Zanotujmy teraz dwa fakty:
(1) Zauważmy, że \(\displaystyle{ L_t}\) nie przechodzi przez \(\displaystyle{ [0,1,0]}\). Stąd wynika, że przecięcie: \(\displaystyle{ L_t\cap C}\)
jest zawarte w zbiorze \(\displaystyle{ U_z=\{z\neq 0\}}\).
(2) Dodatkowo jeżeli prosta \(\displaystyle{ L_t}\) tego pęku przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)-wymierny \(\displaystyle{ P}\) krzywej \(\displaystyle{ C}\) różny od \(\displaystyle{ [1,0,1]}\), to wówczas albo istnieje \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)-wymierny punkt \(\displaystyle{ Q}\) krzywej \(\displaystyle{ C}\) różny od \(\displaystyle{ [1,0,1]}\), \(\displaystyle{ [0,1,0]}\) i \(\displaystyle{ P}\) taki,że: \(\displaystyle{ L_t\cap C=\{[1,0,1],P,Q\}}\)
albo: \(\displaystyle{ L_t\cap C=\{[1,0,1],P\}}\)
i jeden z punktów \(\displaystyle{ [1,0,1]}\) i \(\displaystyle{ P}\) jest dwukrotny.
Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie punktem \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)-wymiernym krzywej \(\displaystyle{ C}\) różnym od \(\displaystyle{ [0,1,0]}\) i \(\displaystyle{ [1,0,1]}\). Rozpatrzmy \(\displaystyle{ t\in \mathbb{Q}}\) takie, że \(\displaystyle{ P\in L_t}\). Na mocy (1) uzyskujemy, że przecięcie \(\displaystyle{ L_t\cap C}\) jest całkowicie zawarte w zbiorze \(\displaystyle{ U_z=\{z\neq 0\}}\). Ze względu na to, że jesteśmy w przestrzeni rzutowej mamy oczywiście, że \(\displaystyle{ U_z=\{z=1\}}\). Otrzymujemy, że krzywa \(\displaystyle{ U_z\cap C}\) jest zadana w \(\displaystyle{ U_z}\) przez równanie: \(\displaystyle{ y^2=x^3-1}\)
Podobnie prosta \(\displaystyle{ U_z\cap L_t}\) jest zadana w \(\displaystyle{ U_z}\) przez równanie: \(\displaystyle{ y=t(x-1)}\)
Rozwiązaniem układu równań: \(\displaystyle{ \begin{cases}
y^2=x^3-1\\
y=t(x-1)
\end{cases}}\)
jest przecięcie \(\displaystyle{ L_t\cap C}\). Wstawiając drugie równanie do pierwszego dostajemy: \(\displaystyle{ t^2(x-1)^2=(x-1)(x^2+x+1)}\)
Eliminując czynnik \(\displaystyle{ (x-1)}\), który ze względu na warunek \(\displaystyle{ z=1}\) odpowiada punktowi \(\displaystyle{ [1,0,1]}\) i upraszczając, mamy: \(\displaystyle{ x^2+(1-t^2)x+t^2+1=0}\)
Liczymy wyróżnik tego równania kwadratowego: \(\displaystyle{ \Delta=t^4-2t^2+1-4t^2-4=t^4-6t^2-3}\)
Łatwo widać, że wyróżnik tego równania nie może być zerem dla żadnego \(\displaystyle{ t\in \mathbb{Q}}\). Stąd na mocy (2) przecięcie \(\displaystyle{ L_t\cap C}\) składa się z trzech różnych punktów \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)-wymiernych \(\displaystyle{ \{[1,0,1],P,Q\}}\) tj. \(\displaystyle{ Q\neq [1,0,1],P,[0,1,0]}\). Łatwo zauważyć(z wykresu, ale można też formalnie udowodnić), że układ równań: \(\displaystyle{ \begin{cases}
y^2=x^3-1\\
y=t(x-1)
\end{cases}}\)
ma w zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) teorio-mnogościowo dwa różne rozwiązania. Tymczasem powinien mieć trzy różne rozwiązania, które odpowiadają \(\displaystyle{ \{[1,0,1],P,Q\}}\). Otrzymujemy sprzeczność. Zatem na krzywej \(\displaystyle{ C}\) nie istnieje punkt \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)-wymierny różny od \(\displaystyle{ [1,0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ [0,1,0]}\).
Jeżeli chcemy wyznaczyć wszystkie rozwiązania \(\displaystyle{ z,y\in \mathbb{Q}}\) równania: \(\displaystyle{ z^3-8=zy^2}\)
to w analogiczny sposób prowadzi to do krzywej eliptycznej: \(\displaystyle{ z^3-x^3=zy^2}\)
Musimy zatem wykazać analogiczny lemat z tym, że na tej nowej krzywej. Po przejściu do \(\displaystyle{ U_z}\), czyli podstawieniu \(\displaystyle{ z=1}\), dostajemy afiniczną krzywą eliptyczną: \(\displaystyle{ y^2=1-x^3}\)
po łatwej zamianie zmiennych dostajemy krzywą eliptyczną: \(\displaystyle{ y^2=x^3+1}\)
zwaną krzywą Eulera. Wszystkie jej punkty \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)-wymierne są znane i wyznaczone:
To daje rozwiązanie zadania z tematu.
Zadanie, które ja rozwiązałem wyżej, to właściwie znalezienie wszystkich rozwiązań \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)-wymiernych krzywej eliptycznej: \(\displaystyle{ x^3-z^3=zy^2}\)
Po przejściu do \(\displaystyle{ U_z}\), czyli podstawieniu \(\displaystyle{ z=1}\) prowadzi to do afinicznej krzywej eliptycznej: \(\displaystyle{ y^2=x^3-1}\)
co zresztą widać w ukrytym dowodzie wykorzystywanego lematu.
W każdym razie morał z tego jest taki, że wiele zadań z teorii liczb sprowadza się do faktów na temat krzywych eliptycznych. Stąd taka fascynacja tymi krzywymi. Jeżeli chodzi o punkty \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)-wymierne, to ludzkość wypracowała twierdzenia Mordell'a-Weil'a i Lutz-Nagell'a, które bardzo ułatwiają ich poszukiwanie, a dla pewnych typów krzywych eliptycznych podają efektywny algorytm.
