Gracze \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) grają w taką grę liczbową: najpierw \(\displaystyle{ A}\) ustala sobie jakąś liczbę naturalną \(\displaystyle{ N>100}\), jednak ukrywa ją przed \(\displaystyle{ B}\). Następnie \(\displaystyle{ B}\) ustala sobie jakąś liczbę \(\displaystyle{ n>1}\) i ujawnia ją przed \(\displaystyle{ A}\). Jeśli \(\displaystyle{ N}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ n}\) to \(\displaystyle{ B}\) wygrywa; jeśli \(\displaystyle{ n>N}\) to \(\displaystyle{ A}\) wygrywa. W przeciwnym razie \(\displaystyle{ A}\) zamienia swoją liczbę na \(\displaystyle{ N-n}\) i gra trwa dalej: \(\displaystyle{ B}\) ustala znów \(\displaystyle{ n>1}\); jednak zawsze inne; itd.
Czy \(\displaystyle{ B}\) ma strategię wyrywającą ?
Gra z podzielnością
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11371
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
-
hannahannah
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 30 sty 2015, o 09:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: ba
- Pomógł: 15 razy
Gra z podzielnością
Strategia \(\displaystyle{ B}\):
\(\displaystyle{ 2,5,6,10,12,3,13,4,14,24,20,8}\)
to znaczy po odjęciu \(\displaystyle{ 20}\) otrzymana liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\), a nawet przez \(\displaystyle{ 24}\). Żeby to zobaczyć, zakładamy, że gra toczyła się do \(\displaystyle{ 20}\) i kontrolujemy możliwe reszty modulo \(\displaystyle{ 2,3,4,6,8}\):
\(\displaystyle{ 2: 1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0}\)
\(\displaystyle{ 3: *,*,*,*,*,2,0,1,0,0,0}\)
\(\displaystyle{ 4: *,*,*,*,*,*,*,2,0,0,0}\)
\(\displaystyle{ 6: *,*,*,*,*,*,0,4,0,0,0}\)
\(\displaystyle{ 8: *,*,*,*,*,*,*,*,*,4,0}\)
\(\displaystyle{ *}\) oznacza, że nie można jednoznacznie ustalić reszty.
Suma liczb \(\displaystyle{ 2,5,6,10,12,3,13,4,14,24,20}\) wynosi \(\displaystyle{ 113}\), czyli więcej niż \(\displaystyle{ 100}\), ale jeśli gra trwała aż do \(\displaystyle{ 20}\), to po odjęciu \(\displaystyle{ 20}\) otrzymana liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 24}\), czyli nie może być ujemna, bo \(\displaystyle{ 124>113}\).
(Mam nadzieję, że nie ma błędu.)
\(\displaystyle{ 2,5,6,10,12,3,13,4,14,24,20,8}\)
to znaczy po odjęciu \(\displaystyle{ 20}\) otrzymana liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\), a nawet przez \(\displaystyle{ 24}\). Żeby to zobaczyć, zakładamy, że gra toczyła się do \(\displaystyle{ 20}\) i kontrolujemy możliwe reszty modulo \(\displaystyle{ 2,3,4,6,8}\):
\(\displaystyle{ 2: 1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0}\)
\(\displaystyle{ 3: *,*,*,*,*,2,0,1,0,0,0}\)
\(\displaystyle{ 4: *,*,*,*,*,*,*,2,0,0,0}\)
\(\displaystyle{ 6: *,*,*,*,*,*,0,4,0,0,0}\)
\(\displaystyle{ 8: *,*,*,*,*,*,*,*,*,4,0}\)
\(\displaystyle{ *}\) oznacza, że nie można jednoznacznie ustalić reszty.
Suma liczb \(\displaystyle{ 2,5,6,10,12,3,13,4,14,24,20}\) wynosi \(\displaystyle{ 113}\), czyli więcej niż \(\displaystyle{ 100}\), ale jeśli gra trwała aż do \(\displaystyle{ 20}\), to po odjęciu \(\displaystyle{ 20}\) otrzymana liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 24}\), czyli nie może być ujemna, bo \(\displaystyle{ 124>113}\).
(Mam nadzieję, że nie ma błędu.)
-
Santiago A
- Użytkownik
- Posty: 248
- Rejestracja: 22 sty 2016, o 20:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zaragoza
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 51 razy
Gra z podzielnością
Sprawdź, co się dzieje dla \(\displaystyle{ N = 105}\) (wygląda na to, że to jest jedyny zepsuty przypadek). Proponuję (bez dowodu) lekko zmodyfikowany zestaw liczb: \(\displaystyle{ 2}\), \(\displaystyle{ 5}\), \(\displaystyle{ 6}\), \(\displaystyle{ 10}\), \(\displaystyle{ 12}\), \(\displaystyle{ 3}\), \(\displaystyle{ 13}\), \(\displaystyle{ 4}\), \(\displaystyle{ 14}\), \(\displaystyle{ 18}\), \(\displaystyle{ 39}\), \(\displaystyle{ 21}\), \(\displaystyle{ 27}\), \(\displaystyle{ 51}\), \(\displaystyle{ 36}\), \(\displaystyle{ 28}\), \(\displaystyle{ 11}\), \(\displaystyle{ 9}\).