Dowód niewymierności liczby 0,1234567...

[Gavan]

Witam, czy niewymierności liczby \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{ 10^{n} }}\) można udowodnić nie wprost zakładając że jest ilorazem dwóch liczb całkowitych względnie pierwszych?

[szw1710]

Sugerowane zdanie jest fałszywe.

Niech \(\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}}\). Przez twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego można łatwo wyznaczyć tę sumę. Mamy naszą liczbę w postaci \(\displaystyle{ 0.1f(0.1)}\) i jest to liczba wymierna.

[a4karo]

Tyle, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{ 10^{n} }\neq 0.1234567...}\).

Bo rozumiem, że chodzi Ci o liczbę \(\displaystyle{ 0.12345678910111213...}\)

wsk. Liczba jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy ma skończone lub okresowe rozwinięcie dziesiętne.

[matmatmm]

rozwiązanie:    

\(\displaystyle{ c_n}\) oznacza \(\displaystyle{ n}\)-tą cyfrę po przecinku liczby \(\displaystyle{ 0,12345678910111213\ldots}\). Przypuśćmy, że ta liczba ma rozwinięcie okresowe tzn. istnieją \(\displaystyle{ k\in\NN}\) i \(\displaystyle{ t\in\NN}\) takie, że \(\displaystyle{ c_{n+t}=c_n}\) dla \(\displaystyle{ n\ge k}\). Niech \(\displaystyle{ m}\) będzie liczbą cyfr pierwszej w pełni zapisanej liczby od miejsca \(\displaystyle{ k}\). Znajdźmy \(\displaystyle{ s\in\NN}\) takie, że \(\displaystyle{ st>m}\). Można dowieść indukcyjnie, że każda wielokrotność \(\displaystyle{ t}\) też jest okresem, więc \(\displaystyle{ st}\) jest okresem. Na prawo od miejca \(\displaystyle{ k}\)-tego znajdują się obok siebie 2 liczby \(\displaystyle{ st}\)-cyfrowe różniące się ostatnią cyfrą, zatem \(\displaystyle{ c_{n+st}\neq c_n}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest numerem ostatniej cyfry pierwszej z tych liczb. Oczywiście \(\displaystyle{ n\ge k}\). Sprzeczność.

[a4karo]

Wystarczy zauważyc, że w zapisie tej liczby dowolnie daleko wystąpią dowolnie długie sekwencje zer.

[Gavan]

Pardon, oczywiście chodziło o liczbę \(\displaystyle{ 0,12345678910111213...}\), dzięki.