Dowód niewymierności liczby 0,1234567...
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 21 lis 2015, o 00:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ziemia
- Podziękował: 3 razy
Dowód niewymierności liczby 0,1234567...
Witam, czy niewymierności liczby \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{ 10^{n} }}\) można udowodnić nie wprost zakładając że jest ilorazem dwóch liczb całkowitych względnie pierwszych?
Dowód niewymierności liczby 0,1234567...
Sugerowane zdanie jest fałszywe.
Niech \(\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}}\). Przez twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego można łatwo wyznaczyć tę sumę. Mamy naszą liczbę w postaci \(\displaystyle{ 0.1f(0.1)}\) i jest to liczba wymierna.
Niech \(\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}}\). Przez twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego można łatwo wyznaczyć tę sumę. Mamy naszą liczbę w postaci \(\displaystyle{ 0.1f(0.1)}\) i jest to liczba wymierna.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Dowód niewymierności liczby 0,1234567...
Tyle, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{ 10^{n} }\neq 0.1234567...}\).
Bo rozumiem, że chodzi Ci o liczbę \(\displaystyle{ 0.12345678910111213...}\)
wsk. Liczba jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy ma skończone lub okresowe rozwinięcie dziesiętne.
Bo rozumiem, że chodzi Ci o liczbę \(\displaystyle{ 0.12345678910111213...}\)
wsk. Liczba jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy ma skończone lub okresowe rozwinięcie dziesiętne.
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 21 lis 2015, o 00:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ziemia
- Podziękował: 3 razy
Dowód niewymierności liczby 0,1234567...
Pardon, oczywiście chodziło o liczbę \(\displaystyle{ 0,12345678910111213...}\), dzięki.